Question

1) Cos (a+pi/3) Cos a= -15/17 2) sin (a-pi/4) sin a= 0.6 3) sin (a-b) + sin (pi/2-a)*sin b

Answer 1

1. По формуле косинуса суммы:
cos(a+π/3)=сos(a)*cos(π/3)-sin(π/3)*sin(a)=cos(a)/2-(√3*sin(a))/2=(cos(a)-(√3*sin(a)))/2=(cos(a)-(√3*√(1-cos(a))))/2=
=(-15/17-(√3*√(1-15/17))/2=-(15+√102/17)/2=7.5+√102/32
2.Формула разности синусов
sin(a-π/4)=sin(a)*cos(π/4)-sin(π/4)*cos(a)=√2/2*(sin(a)-cos(a))
Применив основное тригонометрическое тождество
=√2/2*(1-2cos(a))=√2/2-√2*соs(a)=√2/2-√2*√(1-sin(a))=
=√2/2-√2*√(1-0.6)=√2/2-(2√5)/5
3. sin(a-b) + sin(π/2-a)*sin(b)=
Формула суммы синусов
sin(a)*cos(b)-sin(b)*cos(a)+(sin(π/2)*cos(a)-sin(a)*cos(π/2))*sinb=sin(a)*(cos(b)-sin(b)*(cos(a)-(sin(π/2)*cos(a)-sin(a)*cos(π/2))=
sin(a)*cos(b)-sin(b)*(cos(a)-(sin(π/2)*cos(a)-sin(a)*cos(π/2)))=sin(a)*cos(b)-sin(b)*(cos(a)-sin(π/2)*cos(a)+sin(a)*cos(π/2))=sin(a)*cos(b)-sin(b)*(cos(a)(1-2*sin(π/2))+cos(π/2)*(sin(a)+cos(a))=
=sin(a)*cos(b)-sin(b)*(cos(a)*(1-√2)+√2/2*(sin(a)+cos(a))=sin(a)*cos(b)-sin(b)*(cos(a)-√2/2*cos(a)+√2/2*sin(a)=sin(a)*cos(b)-sin(b)*(cos(a)*(1-√2)+√2/2*(sin(a)+cos(a))=sin(a)*(cos(b)-√2/2*sin(b))-sin(b)*(cos(a)*(1-√2)+√2/2*(cos(a)))=sin(a)*(cos(b)-√2/2*sin(b))-sin(b)*((2-√2)*cos(a))=-sin(b)*((4+√2)/2)+sin(a)*cos(b)-sin(b)*cos(a)=sin(a-b)-sin(b)*((4+√2)/2)

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое уравнение по отдельности.

1) Уравнение: \( \cos(a + \pi/3) \cos(a) = -15/17 \)

Для решения этого уравнения сначала упростим его, используя тригонометрические тождества. Заметим, что \( \cos(\pi/3) = 1/2 \), поэтому:

\[ \cos(a + \pi/3) = \cos(a) \cos(\pi/3) - \sin(a) \sin(\pi/3) \]

Теперь подставим это в исходное уравнение:

\[ \left(\cos(a) \cos(\pi/3) - \sin(a) \sin(\pi/3)\right) \cos(a) = -15/17 \]

Упростим уравнение, заменив \( \cos(\pi/3) \) и \( \sin(\pi/3) \) на их значения:

\[ \left(\frac{1}{2} \cos(a) - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(a)\right) \cos(a) = -15/17 \]

Раскроем скобки:

\[ \frac{1}{2} \cos^2(a) - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(a) \cos(a) = -15/17 \]

Теперь заметим, что \(\sin(a)\cos(a)\) можно выразить через \(\sin(2a)\):

\[ \frac{1}{2} \cos^2(a) - \frac{\sqrt{3}}{4} \sin(2a) = -15/17 \]

Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дробей:

\[ 2 \cos^2(a) - \sqrt{3} \sin(2a) = -60/17 \]

Теперь воспользуемся тождеством \(\sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a)\):

\[ 2 \cos^2(a) - \sqrt{3} \cdot 2\sin(a)\cos(a) = -60/17 \]

И заметим, что \(2\cos^2(a)\) можно заменить на \(1 + \cos(2a)\):

\[ 1 + \cos(2a) - \sqrt{3} \cdot 2\sin(a)\cos(a) = -60/17 \]

Теперь заметим, что \(\cos(2a) = \cos^2(a) - \sin^2(a)\), а также, что \(\sin^2(a) = 1 - \cos^2(a)\):

\[ 1 + (\cos^2(a) - \sin^2(a)) - \sqrt{3} \cdot 2\sin(a)\cos(a) = -60/17 \]

Теперь мы можем выразить \(\sin(a)\cos(a)\) через \(\cos(a)\) и \(\sin(a)\), и заменить \(\sin^2(a)\) на \(1 - \cos^2(a)\):

\[ 1 + \cos^2(a) - (1 - \cos^2(a)) - \sqrt{3} \cdot 2\sin(a)\cos(a) = -60/17 \]

Упростим:

\[ 2\cos^2(a) - \sqrt{3} \cdot 2\sin(a)\cos(a) = -60/17 \]

Теперь выразим \(\sin(a)\cos(a)\) через \(\cos(a)\):

\[ 2\cos^2(a) - \sqrt{3} \cdot 2\sin(a)\cos(a) = -60/17 \] \[ 2\cos^2(a) - \sqrt{3} \cdot 2\cos(a)\sin(a) = -60/17 \]

Заметим, что в левой части у нас есть \(2\cos(a)\sin(a)\), что можно заменить на \(\sin(2a)\):

\[ 2\cos^2(a) - \sqrt(3) \sin(2a) = -60/17 \]

Теперь выразим \(\cos^2(a)\) через \(\sin^2(a)\) (используя \(\sin^2(a) + \cos^2(a) = 1\)):

\[ 2(1 - \sin^2(a)) - \sqrt(3) \sin(2a) = -60/17 \]

Упростим:

\[ 2 - 2\sin^2(a) - \sqrt(3) \sin(2a) = -60/17 \]

Теперь переносим все на одну сторону уравнения:

\[ 2\sin^2(a) + \sqrt(3) \sin(2a) = 2 - 60/17 \]

\[ 2\sin^2(a) + \sqrt(3) \sin(2a) = 34/17 \]

Получилось квадратное уравнение относительно \(\sin(a)\), и его можно решить численно.

2) Уравнение: \( \sin(a - \pi/4) \sin(a) = 0.6 \)

Для решения этого уравнения сначала упростим его, используя тригонометрические тождества. Заметим, что \(\sin(\pi/4) = 1/\sqrt(2)\), поэтому:

\[ \sin(a - \pi/4) = \sin(a) \cos(\pi/4) - \cos(a) \sin(\pi/4) \]

Теперь подставим это в исходное уравнение:

\[ (\sin(a) \cos(\pi/4) - \cos(a) \sin(\pi/4)) \sin(a) = 0.6 \]

Упростим уравнение, заменив \(\cos(\pi/4)\) и \(\sin(\pi/4)\) на их значения:

\[ \left(\frac{1}{\sqrt(2)} \sin(a) - \frac{1}{\sqrt(2)} \cos(a)\right) \sin(a) = 0.6 \]

Упростим дальше:

\[ \frac{1}{2} \sin^2(a) - \frac{1}{2} \sin(a) \cos