Question

Найдите коэффициент при х 4 в биномиальном разложении (х+2) 6

Answer 1

$\boxed{\ (a+b)^6=a^6+C_6^1a^5b+C_6^2a^4b^2+C_6^3a^3b^3+C_6^4a^2b^4+C_6^5ab^5+b^6\ }\\\\\\(x+2)^6=x^6+6\cdot x^5\cdot 2+\underbrace {15\cdot x^4\cdot 2^2}+20\cdot x^3\cdot 2^3+\, ............\\\\\\u_3=15\cdot 2^2\cdot x^4=60\, x^4$

Коэффициент  при  $x^4$   равен   $60$ .

Answer 2

Для нахождения коэффициента при x^4 в биномиальном разложении выражения (x + 2)^6, мы можем воспользоваться биномиальной теоремой. Биномиальная теорема гласит, что для выражения (a + b)^n можно найти коэффициенты при различных степенях a и b в биномиальной форме:

(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n

где C(n, k) обозначает биномиальный коэффициент, который вычисляется как C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!), где ! обозначает факториал.

Для вашего выражения (x + 2)^6 мы хотим найти коэффициент при x^4, поэтому k = 4. Мы можем использовать биномиальный коэффициент C(6, 4) и подставить a = x и b = 2:

C(6, 4) * x^4 * 2^2

Теперь вычислим биномиальный коэффициент C(6, 4):

C(6, 4) = 6! / (4! * (6 - 4)!) = 15

Теперь мы можем умножить это значение на x^4 и 2^2:

15 * x^4 * 4 = 60x^4

Итак, коэффициент при x^4 в биномиальном разложении выражения (x + 2)^6 равен 60.