Question

Найти решение уравнения sin²x- 6cosx=8, удовлетворяющие условие sinx>0

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

Сначала найдем, когда выполняется условие:

$\sin x>0\\x\in(2n\pi;\; \pi+2n\pi)$

Теперь перейдем к решению уравнения:

$\sin^2x-6\cos x=8\\1-\cos 2x-12\cos x=16\\\cos 2x+12\cos x+15=0\\2\cos^2x+12\cos x+14=0\\\cos^2x+6\cos x+7=0\\\\t=\cos x,\;-1\le t\le 1\\\\t^2+6t+7=0\\\dfrac{D}{4}=9-7=2\\\sqrt{\dfrac{D}{4}}=\sqrt{2}\\t_{1,2}=-3\pm\sqrt{2}$

Оба корня посторонние, а значит уравнение не имеет корней.

Поэтому у уравнения sin²x-6cosx=8 нет таких корней, которые бы удовлетворяли условию sinx>0.

Answer 2

Для решения уравнения sin²x - 6cosx = 8, удовлетворяющего условию sinx > 0, мы можем использовать несколько шагов. #### Шаг 1: Преобразование уравнения Давайте преобразуем уравнение, чтобы упростить его. Мы можем использовать идентичность sin²x + cos²x = 1, чтобы избавиться от sin²x: 1 - cos²x - 6cosx = 8 Теперь у нас есть квадратное уравнение вида cos²x + 6cosx - 9 = 0. #### Шаг 2: Решение квадратного уравнения Давайте решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a = 1, b = 6 и c = -9. Сначала мы можем попытаться разложить -9 на два числа, которые в сумме дают 6. Мы видим, что -3 и 3 являются такими числами, поэтому мы можем записать уравнение в виде: (cosx - 3)(cosx + 3) = 0 Теперь мы имеем два возможных значения для cosx: 1) cosx - 3 = 0 2) cosx + 3 = 0 #### Шаг 3: Решение уравнений для cosx Решим первое уравнение: cosx = 3 Однако, косинус не может быть больше 1 или меньше -1, поэтому это решение не подходит. Теперь решим второе уравнение: cosx = -3 #### Шаг 4: Найти значения для x Для решения уравнения sinx > 0, мы должны найти значения x, где синус положителен. Мы знаем, что cosx = -3. Теперь мы можем использовать тригонометрическую идентичность sin²x + cos²x = 1, чтобы найти sinx: sin²x + (-3)² = 1 sin²x + 9 = 1 sin²x = 1 - 9 sin²x = -8 Так как sin²x не может быть отрицательным числом, нет решений, удовлетворяющих условию sinx > 0. **Вывод: Уравнение sin²x - 6cosx = 8 не имеет решений, удовлетворяющих условию sinx > 0.**