Question

Найдите наименьшее значение функции y=12x^3-18x^2+36 на отрезке [-2;2]

Answer 1

$y=12x^3-18x^2+36\; \; ,\qquad x\in [-2\, ;\, 2\; ]\\\\y'=36x^2-36x=36x(x-1)=0\; \; ,\; \; x_1=0\; ,\; \; x_2=1\\\\znaki\; y'\, :\; \; \; +++(0)---(1)+++\\\\x=-2:\; \; y(-2)=-12\cdot 8-18\cdot 4+36=-132\\\\x=0:\; \; y(0)=36\\\\x=1\, :\; \; y(1)=12\cdot 1-18\cdot 1+36=30\\\\x=2:\; \; y(2)=12\cdot 8-18\cdot 4+36=60\\\\y(naimen.)=y(-2)=-132$

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции \(y = 12x^3 - 18x^2 + 36\) на отрезке \([-2, 2]\) нужно выполнить следующие шаги: 1. Найдем критические точки функции, то есть точки, в которых производная равна нулю или не существует. 2. Определим значения функции в критических точках, а также на концах отрезка \([-2, 2]\). 3. Найдем наименьшее из этих значений. Шаг 1: Найдем производную функции \(y\): \[y' = 36x^2 - 36x\] Теперь найдем критические точки, приравнивая производную к нулю: \[36x^2 - 36x = 0\] Факторизуем: \[36x(x - 1) = 0\] Отсюда получаем две критические точки \(x_1 = 0\) и \(x_2 = 1\). Шаг 2: Теперь найдем соответствующие значения функции \(y\) в этих точках: \[y_1 = 12 \cdot 0^3 - 18 \cdot 0^2 + 36 = 36\] \[y_2 = 12 \cdot 1^3 - 18 \cdot 1^2 + 36 = 30\] Также найдем значения функции на концах отрезка: \[y_{-2} = 12 \cdot (-2)^3 - 18 \cdot (-2)^2 + 36 = 132\] \[y_2 = 12 \cdot 2^3 - 18 \cdot 2^2 + 36 = 120\] Шаг 3: Найдем наименьшее из этих значений: Минимальное значение функции на отрезке \([-2, 2]\) равно 30, и оно достигается при \(x = 1\). Итак, минимальное значение функции \(y = 12x^3 - 18x^2 + 36\) на отрезке \([-2, 2]\) равно 30 и достигается при \(x = 1\).