Question

Геометрическая прогрессия Последовательность чисел образует бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, значение суммы членов которой равно 8. Найдите первый член и знаменатель прогрессии, если значение суммы кубов ее членов равно 512/37.просьба решить​ с объяснением

Answer 1

Пусть наша прогрессия имеет вид

$a,qa,q^2a...$

Тогда по формуле для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

$\displaystyle 8 = a+qa+q^2a+... = \frac{a}{1-q}$

В то же время кубы членов нашей прогрессии также образуют геометрическую прогрессию

$a^3,q^3a^3,q^6a^3...$

Сумма ее членов, соответственно

$\displaystyle \frac{512}{37} = a^3+q^3a^3+q^6a^3+... = \frac{a^3}{1-q^3} = \frac{a^3}{(1-q)(1+q+q^2)}$

Разделим второе равенство на первое и получим

$\displaystyle \frac{64}{37} = \frac{a^2}{1+q+q^2}$

Учитывая, что $a = 8(1-q)$, получим

$\displaystyle64(1+q+q^2) = 37\cdot64(1-2q+q^2)\\36q^2-75q+36=0\\D = 75^2-4\cdot36^2=441=21^2\\q = \frac{75-21}{72} = 0.75$

Второй корень квадратного уравнения нам не подходит, так как |q| должен быть меньше 1. В свою очередь $a = 8(1-q) = 2$

Ответ: первый член равен 2, знаменатель равен 0.75

Answer 2

Давайте рассмотрим данную геометрическую прогрессию более подробно и найдем её первый член (a) и знаменатель (q). Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего члена на определенное число, называемое знаменателем. Пусть a - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии. Таким образом, первый член прогрессии a будет равен a, второй член - aq, третий член - aq^2, четвертый член - aq^3 и так далее. Значение суммы членов геометрической прогрессии можно выразить следующей формулой: S = a / (1 - q), где S - значение суммы членов прогрессии. В данной задаче значение суммы членов прогрессии равно 8, поэтому мы можем записать: 8 = a / (1 - q). Теперь давайте рассмотрим значение суммы кубов членов этой геометрической прогрессии. Сумма кубов членов прогрессии также имеет свою формулу: S_cubed = (a^3) / (1 - q^3), где S_cubed - значение суммы кубов членов прогрессии. В данной задаче значение S_cubed равно 512/37, поэтому мы можем записать: 512/37 = (a^3) / (1 - q^3). Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (a и q). Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения a и q. Первое уравнение: 8 = a / (1 - q). Второе уравнение: 512/37 = (a^3) / (1 - q^3). Давайте изолируем a в первом уравнении: a = 8 * (1 - q). Теперь подставим это значение a во второе уравнение: 512/37 = (8 * (1 - q)^3) / (1 - q^3). Теперь решим это уравнение. Начнем с упрощения выражения в числителе: 8 * (1 - q)^3 = 512/37 * (1 - q^3). Теперь давайте разделим обе стороны на 8: (1 - q)^3 = (512/37 * (1 - q^3)) / 8. (1 - q)^3 = 64/37 * (1 - q^3). Теперь возведем обе стороны в куб: 1 - q = (64/37 * (1 - q^3))^(1/3). 1 - q = (64/37)^(1/3) * (1 - q). Теперь изолируем q в этом уравнении: q = 1 - (64/37)^(1/3) * (1 - q). Теперь мы имеем уравнение только с одной неизвестной q. Мы можем решить это уравнение, чтобы найти значение q. После этого, используя значение q, мы сможем найти значение a с помощью первого уравнения. Теперь давайте решим это уравнение для q. Выражение (64/37)^(1/3) равно приближенно 1.3007. q = 1 - 1.3007 * (1 - q). Раскроем скобки: q = 1 - 1.3007 + 1.3007q. Теперь объединим все члены с q в одну сторону: q - 1.3007q = 1 - 1.3007. Упростим это уравнение: 0.6993q = -0.3007. Теперь разделим обе стороны на 0.6993: q = -0.3007 / 0.6993. q ≈ -0.4291. Теперь, когда мы знаем значение q, мы можем использовать первое уравнение для нахождения значения a: 8 = a / (1 - (-0.4291)). 8 = a / (1 + 0.4291). 8 = a / 1.4291. Умножим обе стороны на 1.4291: a ≈ 8 * 1.4291. a ≈ 11.4328. Итак, первый член прогрессии (a) приближенно равен 11.4328, а знаменатель прогрессии (q) приближенно равен -0.4291.