Question

Пожалуйста,помогите решить:))) 1)sin3x ≦ - 1/2 2)cos7x*cos3x - sin3x*sin7x ≦ -1/2  3)2sin² x - 5sinx*cosx+2cos² x=0

Answer 1

Первый пример

3x ≦ (-1)^k arcsin(-1/2) + pi*k

Функция нечетная:
3x ≦ (-1)^(k+1) arcsin(1/2) + pi*k
Подставляем табличное значение
3x ≦ (-1)^(k+1) pi/6 + Pi*k
Делим на 3 обе части уравнения: 
x ≦ (-1)^(k+1) pi/18 + (pi*k)/3

Второй пример

Во втором примере опечатка, вы уверены, что правильно списали?

 

Третий пример

Переносим 1 с плюсом влево и представляем ее в виде sin^2 x + cos^2 x
2sin^2 x + 5sin x*cos x + 3cos^2 x = 0
Делим всё на cos^2 x, про который мы точно знаем, что он не равен 0.
2tg^2 x + 5tg x + 3 = 0
(2tg x + 3)(tg x + 1) = 0
x1 = -arctg(3/2) + Pi*k
x2 = -arctg(1) + Pi*k = -pi/4 + Pi*k

Answer 2

1) Решим неравенство sin3x ≤ -1/2. На интервале [0, 2π] синус является отрицательным на отрезках [π, 3π/2] и [5π/2, 2π]. Таким образом, решениями неравенства будут значения аргументов, лежащие на этих отрезках, т.е. x ∈ [π, 3π/2] U [5π/2, 2π]. 2) Решим неравенство cos7x*cos3x - sin3x*sin7x ≤ -1/2. Используем формулу произведения синусов и косинусов: cos(α - β) = cosα*cosβ + sinα*sinβ Применим эту формулу в исходном неравенстве: cos(7x - 3x) ≤ -1/2 cos4x ≤ -1/2 На интервале [0, 2π] косинус является отрицательным на отрезке [π/3, 2π/3]. Таким образом, решениями неравенства будут значения аргументов, лежащие на этом отрезке, т.е. x ∈ [π/3, 2π/3]. 3) Решим квадратное уравнение 2sin²(x) + 5sin(x)cos(x) + 2cos²(x) = 0. Заметим, что данное уравнение является квадратным трехчленом относительно sin(x). Для упрощения решения воспользуемся формулой синуса двойного угла: sin(2x) = 2sin(x)cos(x) Заменим в уравнении sin²(x) на (1 - cos²(x)): 2(1 - cos²(x)) + 5sin(x)cos(x) + 2cos²(x) = 0 2 - 2cos²(x) + 5sin(x)cos(x) + 2cos²(x) = 0 5sin(x)cos(x) = 0 sin(x)cos(x) = 0 Теперь рассмотрим два случая: - Если sin(x) = 0, то получаем: cos(x) = 0 x = kπ/2, где k - целое число - Если cos(x) = 0, то получаем: sin(x) = 0 x = kπ, где k - целое число Таким образом, решениями уравнения будут значения аргументов, лежащие на множестве {kπ/2, kπ}, где k - целое число.