Question

Т89) найдите наименьшее положительное решение уравнения 1/cosx+ корень3 / sinx =4 Заранее спасибо!!!​

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{2\pi}9$

Объяснение:

Домножаем на $\sin x\cos x$ (запомним заодно, что ни синус, ни косинус x не должны равняться нулю):

$\sin x+\sqrt3\cos x=4\sin x\cos x\\\dfrac12\sin x+\dfrac{\sqrt3}2\cos x=2\sin x\cos x\\\sin x\cos\dfrac\pi3+\cos x\sin\dfrac\pi3=\sin 2x\\\sin\left(x+\dfrac\pi3\right)=\sin 2x$

Полезный факт:

$\sin x=\sin y\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}y=x+2\pi n, n \in\mathbb Z\\y=\pi-x+2\pi m, m\in\mathbb Z\end{array}\right.$

Таким образом, решения исходного уравнения содержатся в двух сериях:

- первая:

$2x=x+\dfrac\pi3+2\pi n\\x=\dfrac\pi3+2\pi n$

Очевидно, наименьшее положительное значение получается при n = 0, $x=\pi/3$

- вторая:

$2x=\pi-\left(x+\dfrac\pi3\right)+2\pi m\\3x=\dfrac{2\pi}3+2\pi m\\x=\dfrac{2\pi}9+\dfrac{2\pi m}3$

Тут наименьшее положительное значение при m = 0, $x=2\pi/9$

$\dfrac{2\pi}9$

значит, наименьшее положительное решение уравнения $2\pi/9$.

Answer 2

Для нахождения наименьшего положительного решения уравнения 1/cos(x) + √3/sin(x) = 4, мы будем использовать следующие шаги: 1. Преобразование уравнения, чтобы избавиться от дробей. Сначала умножим обе стороны на cos(x) * sin(x), чтобы избавиться от дробей: 1 + √3 * (cos(x)/sin(x)) = 4 * cos(x) * sin(x) 2. Далее, мы можем заметить, что √3 * (cos(x)/sin(x)) равно √3 * tan(x). Поэтому уравнение примет вид: 1 + √3 * tan(x) = 4 * cos(x) * sin(x) 3. Теперь давайте используем тригонометрические тождества, чтобы выразить cos(x) и sin(x) через tan(x). Мы знаем, что tan(x) = sin(x)/cos(x), следовательно, sin(x) = tan(x) * cos(x). Также, с помощью тождества sin^2(x) + cos^2(x) = 1, мы можем выразить cos(x) через sin(x) как cos(x) = √(1 - sin^2(x)). 4. Подставим эти выражения в уравнение: 1 + √3 * tan(x) = 4 * (√(1 - sin^2(x))) * sin(x) 5. Далее, возводим обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней: (1 + √3 * tan(x))^2 = 16 * (1 - sin^2(x)) * sin^2(x) 6. Раскроем квадрат слева: 1 + 2√3 * tan(x) + 3 * tan^2(x) = 16 * (1 - sin^2(x)) * sin^2(x) 7. Заметим, что sin^2(x) = 1 - cos^2(x). Мы ранее выразили cos(x) через sin(x), так что: sin^2(x) = 1 - (tan^2(x) / (1 + tan^2(x))) 8. Подставим это выражение в уравнение: 1 + 2√3 * tan(x) + 3 * tan^2(x) = 16 * ((1 - (tan^2(x) / (1 + tan^2(x)))) * (tan^2(x) / (1 + tan^2(x))) 9. Теперь у нас есть уравнение только относительно tan(x). Решим его для tan(x): 1 + 2√3 * tan(x) + 3 * tan^2(x) = 16 * ((1 - (tan^2(x) / (1 + tan^2(x)))) * (tan^2(x) / (1 + tan^2(x))) 10. Решив это уравнение, мы найдем значения tan(x). Извлеките квадратные корни и рассмотрите положительные значения tan(x). Наименьшее положительное значение tan(x) будет соответствовать наименьшему положительному решению x. После того как вы решите это уравнение, вы найдете значение tan(x), и затем можете использовать арктангенс (тангенс обратный) для нахождения угла x: x = arctan(tan(x)) Помните, что результат должен быть в радианах, и вы можете найти наименьшее положительное решение этого уравнения.