Question

Найдите площадь фигуры ограниченной линиями у=х^2 -1 у=3

Answer 1

Ищем пределы интегрирования:
$x^2-1=3 \\x^2=4 \\x_1=2 \\x_2=-2$
находим площадь с помощью определенного интеграла:
$S(g)= \int\limits^2_{-2} {(3-(x^2-1))} \, dx =\int\limits^2_{-2} {(-x^2+4)} \, dx= \\=(- \frac{x^3}{3}+4x )\int\limits^2_{-2}= -\frac{8}{3}+8-(\frac{8}{3}-8)=16- \frac{16}{3}= \frac{48-16}{3}= \frac{32}{3}=10 \frac{2}{3}$
Ответ:  $10 \frac{2}{3}$ ед²

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной указанными линиями, необходимо найти точки пересечения этих линий и затем вычислить определенный интеграл от функции y = x^2 - 1 до y = 3. По условию уравнения, у = x^2 - 1 и y = 3. Для нахождения точек пересечения, мы можем приравнять эти уравнения друг к другу: x^2 - 1 = 3 x^2 = 4 x = ±2 Таким образом, точки пересечения имеют координаты (2, 3) и (-2, 3). Для нахождения площади фигуры, ограниченной этими линиями, мы должны интегрировать функцию y = x^2 - 1 от x = -2 до x = 2: S = ∫[from -2 to 2] (x^2 - 1) dx Вычисляем интеграл: S = [1/3 * x^3 - x] [from -2 to 2] S = (1/3 * 2^3 - 2) - (1/3 * (-2)^3 - (-2)) S = (8/3 - 2) - (-8/3 + 2) S = (8/3 - 6/3) - (-8/3 + 6/3) S = (8 - 6)/3 - (-8 + 6)/3 S = 2/3 + 2/3 S = 4/3 Площадь фигуры, ограниченной линиями у = x^2 - 1 и y = 3 равна 4/3 единицы площади.