Question

Вычислите производную функции y=(1/2 x+ 5)^10

Answer 1

Производная сложной функции 

y ' = 10 * (x/2 + 5)^9 * (x/2 + 5) ' = 
= 10/2 * (x/2 + 5)^ 9 = 
= 5 * (x/2 + 5)^9 

Answer 2

Для вычисления производной функции y=(1/2 x+ 5)^10, мы можем использовать свойство цепного правила, которое гласит, что производная композиции функций равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции.

Для начала, давайте перепишем данную функцию в более удобной форме:

y = (1/2 x+ 5)^10
= (1/2)^10 * (x+ 10*2.5)^10
= (1/1024) * (x + 25)^10

Теперь, мы можем применить цепное правило два раза.

Шаг 1: Найдем производную внутренней функции (x + 25)^10.

Мы можем использовать биномиальную теорему для раскрытия скобок:

(x + 25)^10 = C(10,0)x^10 * 25^0 + C(10,1)x^9 * 25^1 + ... + C(10,9)x^1 * 25^9 + C(10,10)x^0 * 25^10

где C(n, k) обозначает биномиальный коэффициент "n по k".

Теперь давайте вычислим производные каждого слагаемого:

(1) Производная первого слагаемого:
(10*C(10,0)x^9 * 25^0) = 10x^9 * 1 = 10x^9

(2) Производная второго слагаемого:
(10*C(10,1)x^8 * 25^1) = 10*C(10,1)x^8 * 25 = 250x^8

и так далее...

Шаг 2: Найдем производную внешней функции (1/1024) * (x + 25)^10.

Умножим каждое слагаемое на производную внутренней функции, полученную на предыдущем шаге:

(1/1024) * (10x^9) * (x + 25)^0 + (1/1024) * (250x^8) * (x + 25)^1 + ...

Теперь объединим все слагаемые и упростим выражение.

В результате, мы получим окончательную производную функции y=(1/2 x+5)^10:

y' = (1/1024) * 10x^9 * (x + 25)^0 + (1/1024) * 250x^8 * (x + 25)^1 + ...

Если необходимо, можно продолжить раскрытие скобок и упростить дальше.