Question

Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y=cosx+корень из3sinx на промежутке(-п/2;п/2)

Answer 1

Y = cosx + √3sinx
y' = -sinx + √3cosx = 0
√3cosx = sinx
tgx = √3
x = π/3 + πk
-π/2 < π/3 + πk < π/2
-π/2 - π/3 < πk < π/2 - π/3
-5π/6 < πk < π/6
-5/6 < k < 1/6
k = 0, x=π/3 - максимум
y(π/3) = cos(π/3) + √3*sin(π/3) = 0.5 + √3*√3/2 = 2
y(-π/2) = cos(-π/2) + √3*sin(-π/2) = 0 - √3*1 = -√3
y(π/2) = cos(π/2) + √3*sin(π/2) = √3
Наибольшее значение при x=π/3, y=2
Наименьшее значение при x= -π/2, y= -√3

Answer 2

Для нахождения наименьшего и наибольшего значения функции y = cos(x) + √3sin(x) на промежутке (-π/2; π/2) необходимо применить методы дифференциального исчисления. Сначала найдем критические точки функции, то есть значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует. Для этого вычислим производную функции y по x: dy/dx = -sin(x) + √3cos(x) Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение: -sin(x) + √3cos(x) = 0 Для удобства, поделим обе части уравнения на cos(x): -tan(x) + √3 = 0 tan(x) = √3 Находим обратную тангенс функцию от √3: x = arctan(√3) Теперь проверим значения функции на концах промежутка (-π/2; π/2): y(-π/2) = cos(-π/2) + √3sin(-π/2) = 0 + √3 * (-1) = -√3 y(π/2) = cos(π/2) + √3sin(π/2) = 0 + √3 * 1 = √3 Таким образом, наименьшее значение функции на промежутке (-π/2; π/2) равно -√3, а наибольшее значение равно √3.