Question

В класі, де навчаються 28 учнів, було проведено контрольні роботи з математики, фізики та хімії. Відмінні оцінки з математики отримали 12 учнів, з фізики – 11 учнів, з хімії – 9 учнів. Тільки з однієї дисципліни мають відмінні оцінки: з математики – 5 учнів, з фізики – 4 учні, з хімії – 3 учні. Шість учнів мають відмінні оцінки з математики та фізики, а четверо з них мають відмінну оцінку ще і з хімії. Скільки учнів не отримали відмінні оцінки? Скільки учнів мають відмінні оцінки по двом із трьох предметів?

Answer 1

Відповідь:

Вісім учнів не отримали жодної відмінні оцінки.

Чотири учні мають відмінні оцінки по двом із трьох предметів.

Покрокове пояснення:

Позначимо множини:

1) множина клас -> 28 учнів;

2) множина відмінників з математики -> 12 учнів;

3) множина відмінників з фізики -> 11 учнів;

4) множина відмінників з хімії -> 9 учнів.

Перетин множин відмінників з математики та відмінників з фізики -> 6 учнів, з яких чотири учні належать до перетину всіх трьох множин ( відмінників з математики, відмінників з фізики та відмінників з хімії ), а два учні лише до перетину двох множин ( відмінників з математики та відмінників з фізики ).

Маємо з 12 учнів, що отримали відмінні оцінки з математики:

5 учні отримали відмінні оцінки лише з математики;

2 учні отримали відмінні оцінки з математики та фізики;

4 учні отримали відмінні оцінки з математики, фізики та хімії.

5 + 2 + 4 = 11 учнів

12 - 11 = 1 учень отримав відмінну оцінку з математики та хімії.

Маємо з 11 учнів, що отримали відмінні оцінки з фізики:

4 учні отримали відмінні оцінки лише з фізики;

2 учні отримали відмінні оцінки з математики та фізики;

4 учні отримали відмінні оцінки з математики, фізики та хімії.

4 + 2 + 4 = 10 учнів

11 - 10 = 1 учень отримав відмінну оцінку з фізики та хімії.

Перевірка:

Маємо з 9 учнів, що отримали відмінні оцінки з хімії:

3 учні отримали відмінні оцінки лише з хімії;

1 учень отримав відмінну оцінку з математики та хімії;

1 учень отримав відмінну оцінку з фізики та хімії;

4 учні отримали відмінні оцінки з математики, фізики та хімії.

3 + 1 + 1 + 4 = 9 учнів.

Все правильно.

Таким чином загальна кількість учнів, що отримали відмінні оцінки дорівнює:

5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 1 + 4 = 20 учнів.

З 28 учнів, що входять до множини клас є

28 - 20 = 8 учнів, що не отримали жодної відмінної оцінки.

Серед учнів, що мають відмінні оцінки по двом із трьох предметів є:

2 + 1 + 1 = 4 учні.

Маємо такі результати:

відмінники з одного предмета -> 12 учнів;

відмінники з двох предметів -> 4 учні;

відмінники з трьох предметів -> 4 учні;

Не отримали жодної відмінної оцінки -> 8 учнів.

Answer 2

Згідно з умовою, ми знаємо наступне: - Кількість учнів у класі - 28. - Учні, які отримали відмінні оцінки: - З математики - 12. - З фізики - 11. - З хімії - 9. - З однієї дисципліни отримали відмінні оцінки: - З математики - 5. - З фізики - 4. - З хімії - 3. - 6 учнів мають відмінні оцінки з математики та фізики, а з них 4 мають відмінну оцінку ще і з хімії. Давайте розберемося з питаннями по черзі: 1. Скільки учнів не отримали відмінні оцінки? Для відповіді на це питання ми можемо використати принцип включень та виключень. Позначимо кількість учнів, які отримали відмінні оцінки з математики, фізики та хімії як A, B та C відповідно. Тоді за формулою включень та виключень кількість учнів, які отримали хоча б одну відмінну оцінку, буде: A + B + C - (A ∩ B) - (A ∩ C) - (B ∩ C) + (A ∩ B ∩ C) Замінюючи відповідними значеннями, отримуємо: 12 + 11 + 9 - 5 - 4 - 3 + 4 = 28 Таким чином, всі учні отримали хоча б одну відмінну оцінку. Отже, ніхто не отримав оцінки нижче від відмінки. 2. Скільки учнів мають відмінні оцінки по двом із трьох предметів? Ми вже знаємо, що 6 учнів мають відмінні оцінки з математики та фізики, а з них 4 мають відмінну оцінку ще і з хімії. Але це нам не дає кінцевої відповіді. Для відповіді на це питання, ми використаємо принцип включень та виключень знову. Позначимо кількість учнів, які отримали відмінну оцінку з математики та фізики як M, кількість учнів, які отримали відмінну оцінку з математики та хімії як H, та кількість учнів, які отримали відмінну оцінку з фізики та хімії як F. Тоді кількість учнів, які мають відмінні оцінки по двом із трьох предметів, буде: M + H + F - 2(A ∩ B ∩ C) Замінюючи відповідними значеннями, отримуємо: 6 + 4 + (кількість учнів, які отримали відмінні оцінки з фізики та хімії) - 2(4) = 10 + (кількість учнів, які отримали відмінні оцінки з фізики та хімії) Ми не знаємо точної кількості учнів, які мають відмінні оцінки з фізики та хімії, тому ми не можемо дати точну відповідь на це питання, але ми знаємо, що це число більше за 0.