Question

В районних олімпіадах з математики, фізики та хімії стали призерами 45 учнів ліцею. Відомо, що призерів з математики – 26, фізики – 20, хімії – 15. Серед них призерами двох олімпіад стали 6 учнів. Скільки учнів стали призерами всіх трьох олімпіад?

Answer 1

Відповідь:

П'ять учнів стали призерами всіх трьох олімпіад.

Пояснення:

Серед 45 учнів є:

1) учні, що приймали участь лише у одній олімпіаді ( позначимо їх кількість як n1 );

2) учні, що приймали участь у двох олімпіадах ( позначимо їх кількість як n2 );

3) учні, що приймали участь у трьох олімпіадах ( позначимо їх кількість як n3 ).

Маємо:

n1 + n2 + n3 = 45 ( 1 )

Загальна кількість призерів дорівнює:

26 + 20 + 15 = 61. Серед них є:

1) призери, що приймали участь лише у одній олімпіаді ( рахується як один учасник );

2) призери, що приймали участь у двох олімпіадах ( рахується як два учасника );

3) призери, що приймали участь у трьох олімпіадах ( рахується як три учасника ).

Маємо:

1 × n1 + 2 × n2 + 3 × n3 = 61 ( 2 )

Відомо, що n2 = 6. Підставимо ці данні до рівняннь ( 1 ) та ( 2 ):

1) n1 + 6 + n3 = 45

n1 + n3 = 45 - 6

n1 + n3 = 39 ( 3 )

2) n1 + 2 × 6 + 3n3 = 61

n1 + 12 + 3n3 = 61

n1 + 3n3 = 61 - 12

n1 + 3n3 = 49 ( 4 )

Віднімемо від рівняння ( 4 ) рівняння ( 3 ):

n1 + 3n3 = 49

-

n1 + n3 = 39

------------------

2n3 = 10

n3 = 10 / 2

n3 = 5

Перевірка:

1) П'ять учнів стали призерами всіх трьох олімпіад n3 = 5.

Призерами двох олімпіад стали 6 учнів n2 = 6

У одній з олімпіад призерами стали 45 - 6 - 5 = 34 учні n1 = 34.

2) Підставимо ці данні до рівняння ( 2 ):

1 × 34 + 2 × 6 + 3 × 5 = 61

34 + 12 + 15 = 61

61 = 61

Все вірно.

Answer 2

Давайте розв'яжемо цю задачу за допомогою принципу включення та виключення.

Ми знаємо, що кількість призерів з математики = 26, з фізики = 20, з хімії = 15, а всього призерів = 45.

Тепер розглянемо кількість учнів, які стали призерами двох олімпіад. Зараз ми не знаємо, скільки учнів стали призерами обох олімпіад, але ми позначимо цю кількість як "x".

Тоді ми можемо використовувати принцип включення та виключення для знаходження кількості учнів, які стали призерами обох олімпіад. За цим принципом:

Кількість призерів обох олімпіад = (кількість призерів з математики) + (кількість призерів з фізики) + (кількість призерів з хімії) - (2 * кількість призерів двох олімпіад)

45 = 26 + 20 + 15 - 2x

Тепер розв'яжемо це рівняння для x:

45 = 61 - 2x

2x = 61 - 45

2x = 16

x = 8

Отже, 8 учнів стали призерами обох олімпіад.

Тепер ми можемо знайти кількість учнів, які стали призерами всіх трьох олімпіад:

Кількість призерів всіх трьох олімпіад = кількість призерів з математики + кількість призерів з фізики + кількість призерів з хімії - кількість призерів обох олімпіад

Кількість призерів всіх трьох олімпіад = 26 + 20 + 15 - 8 = 53

Отже, 53 учні стали призерами всіх трьох олімпіад.