Question

Имеют ли окружность x²+y²=8 и прямая x-y=4 общие точки? Если имеют, то укажите их координаты. Дайте ответ, не выполняя построение. ​

Answer 1

Если система данных уравнений имеет решение, значит, общие точки существуют.

Решим систему:

{x²+y²=8

{x-y=4

Из второго уравнения выразим х через у:

х=у+4

и, подставив в первое уравнение, получим:

(у+4)²+y²=8

у²+8у+16 +y²=8

2у²+8у +8 = 0

Делим обе части уравнения на 2:

у²+4у+4 = 0   (D=0 => существует только 1 корень)

(у+2)² = 0

у+2=0

у = -2

При y= -2   =>  x=y+4  => x= -2+4  =>   x=2

Ответ: окружность x²+y²=8 и прямая x-y=4 имеют 1 общую точку с координатами (2;  -2).

Answer 2

Для того чтобы проверить, имеют ли окружность и прямая общие точки, необходимо подставить уравнение прямой в уравнение окружности и решить систему уравнений. Подставляя уравнение прямой x-y=4 в уравнение окружности x²+y²=8, получаем: (x-y)²+y²=8 Раскрывая скобки: x²-2xy+y²+y²=8 Объединяя подобные слагаемые: 2x²+2y²-2xy=8 Делаем необходимые преобразования к уравнению: x²+y²-xy=4 Таким образом, система уравнений: x²+y²=8 x²+y²-xy=4 Чтобы найти общие точки, решим эту систему уравнений. Подставим y из первого уравнения во второе: x²+(8-x²)-x(√(8-x²))=4 Упрощаем выражение: 8-x²-√(8-x²)x=4 Перегруппируем слагаемые: √(8-x²)x=4-x² Возводим оба выражения в квадрат: (√(8-x²)x)²=(4-x²)² 8x²-x⁴=16-8x²+x⁴ Упрощаем выражение: 2x⁴-16x²+16=0 Делим уравнение на 2: x⁴-8x²+8=0 Данное уравнение четвертой степени можно решить при помощи подстановки. Пусть z=x², тогда уравнение примет вид: z²-8z+8=0 Решая это квадратное уравнение, мы найдем значение z: z₁ = 4+2√2 z₂ = 4-2√2 Так как z=x², то найдем значения x: x₁ = √(4+2√2) ≈ 2.54138 x₂ = -√(4+2√2) ≈ -2.54138 Теперь подставляем найденные значения x в уравнение окружности, чтобы найти соответствующие значения y: При x₁ = 2.54138: 2.54138² + y² = 8 y ≈ ± 2.27872 Таким образом, первая общая точка имеет координаты (2.54138, 2.27872), а вторая - (2.54138, -2.27872). При x₂ = -2.54138: (-2.54138)² + y² = 8 y ≈ ± 2.27872 Таким образом, третья общая точка имеет координаты (-2.54138, 2.27872), а четвертая - (-2.54138, -2.27872). Итак, окружность x²+y²=8 и прямая x-y=4 имеют 4 общие точки: (2.54138, 2.27872), (2.54138, -2.27872), (-2.54138, 2.27872), (-2.54138, -2.27872).