Question

(4+e^x)/(4e^x) найти первообразную.

Answer 1

$\int\limits { \frac{4+e ^{x} }{4e ^{x} } } \, dx =\int\limits { (\frac{1}{e^{x}} +\frac{1}{4}) } \, dx =\int\limits { ({e^{-x} +\frac{1}{4}) } \, dx =-e^{-x}+ \frac{x}{4} +C$

Answer 2

Для нахождения первообразной выражения (4+e^x)/(4e^x) воспользуемся методом интегрирования по частям.

Пусть u = 4 + e^x, dv = 1/(4e^x) dx.
Тогда du = e^x dx, v = 1/4.

Используя формулу интегрирования по частям ∫u dv = uv - ∫v du, получаем:
∫(4+e^x)/(4e^x) dx = (4 + e^x)(1/4) - ∫(1/4)(e^x) dx
= (1 + e^x/4) - ∫(1/4)(e^x) dx
= 1/4 + e^x/4 - (1/4)∫(e^x) dx
= 1/4 + e^x/4 - (1/4)e^x + C, где C - постоянная интегрирования.

Таким образом, первообразная выражения (4+e^x)/(4e^x) равна 1/4 + e^x/4 - (1/4)e^x + C, где C - произвольная постоянная.