Question

Скориставшись визначенням, обчисли похідну функції в точці x:y=3x^2+5x.​

Answer 1

Объяснение:

$y = 3 {x}^{2} + 5x \\ y = \frac{d}{dx} (3 {x}^{2} + 5x) \\ y = \frac{d}{dx}(3 {x}^{2} ) + \frac{d}{dx}(5x) \\ y = 3 \times 2x + 5 \\ y = 6x + 5$

Answer 2

Для обчислення похідної функції в точці використовуємо означення похідної за Гейне:

f'(x) = lim(h→0) (f(x+h) - f(x)) / h

Замінюємо f(x) на y і замінюємо x на точку, в якій ми рахуємо похідну:

f'(x) = lim(h→0) (f(x+h) - f(x)) / h = lim(h→0) (y(x+h) - y(x)) / h

Підставляємо значення функції:

f'(x) = lim(h→0) ((3(x+h)^2+5(x+h)) - (3x^2+5x)) / h

Розкриваємо квадрати:

f'(x) = lim(h→0) (3(x^2 + 2hx + h^2) + 5x + 5h - 3x^2 - 5x) / h

Спрощуємо вираз:

f'(x) = lim(h→0) (3x^2 + 6hx + 3h^2 + 5x + 5h - 3x^2 - 5x) / h

Виділяємо спільні члени:

f'(x) = lim(h→0) (6hx + 3h^2 + 5h) / h

Скасовуємо h в чисельнику і знаменнику:

f'(x) = lim(h→0) (6x + 3h + 5)

Замінюємо h на 0, так як ми беремо границю при наближенні до 0:

f'(x) = 6x + 3(0) + 5

f'(x) = 6x + 5

Отже, похідна функції y = 3x^2 + 5x в точці x має значення 6x + 5.