Question

Cos4x sin5x-cos5x sin4x =1 решите уравнение

Answer 1

Здесь просто соберем формулу синуса разности:
sin(5x)cos(4x)-cos(5x)sin(4x)=1
sin(5x-4x)=1
sin(x)=1
x=π/2+2πn, n∈Z

Answer 2

Имеем уравнение: \[ \cos(4x) + \sin(5x) - \cos(5x) + \sin(4x) = 1 \] Давайте попробуем преобразовать его, используя тригонометрические тождества. Мы знаем, что \(\cos(a) - \cos(b) = -2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\sin\left(\frac{a-b}{2}\right)\). Применим это тождество к части уравнения \(\cos(4x) - \cos(5x)\): \[ \cos(4x) - \cos(5x) = -2\sin\left(\frac{4x+5x}{2}\right)\sin\left(\frac{4x-5x}{2}\right) \] \[ \cos(4x) - \cos(5x) = -2\sin\left(\frac{9x}{2}\right)\sin\left(-\frac{x}{2}\right) \] \[ \cos(4x) - \cos(5x) = 2\sin\left(\frac{9x}{2}\right)\sin\left(\frac{x}{2}\right) \] Теперь заменим \(\sin(4x) + \sin(5x)\) по формуле \(\sin(a) + \sin(b) = 2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)\): \[ \sin(4x) + \sin(5x) = 2\sin\left(\frac{4x+5x}{2}\right)\cos\left(\frac{4x-5x}{2}\right) \] \[ \sin(4x) + \sin(5x) = 2\sin\left(\frac{9x}{2}\right)\cos\left(-\frac{x}{2}\right) \] \[ \sin(4x) + \sin(5x) = 2\sin\left(\frac{9x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) \] Теперь подставим эти результаты обратно в исходное уравнение: \[ \cos(4x) - \cos(5x) + \sin(4x) + \sin(5x) = 1 \] \[ 2\sin\left(\frac{9x}{2}\right)\sin\left(\frac{x}{2}\right) + 2\sin\left(\frac{9x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) = 1 \] \[ 2\sin\left(\frac{9x}{2}\right)\left[\sin\left(\frac{x}{2}\right) + \cos\left(\frac{x}{2}\right)\right] = 1 \] Используем тригонометрическое тождество \(\sin(\alpha) + \cos(\alpha) = \sqrt{2}\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)\), чтобы упростить уравнение: \[ 2\sin\left(\frac{9x}{2}\right) \cdot \sqrt{2} \sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = 1 \] \[ \sin\left(\frac{9x}{2}\right) \sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \] Теперь применим тригонометрическое тождество произведения синусов: \[ \frac{1}{2}\left[\cos\left(\frac{9x}{2} - \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\right) - \cos\left(\frac{9x}{2} + \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\right)\right] = \frac{1}{\sqrt{2}} \] \[ \frac{1}{2}\left[\cos\left(4x - \frac{\pi}{4}\right) - \cos\left(5x + \frac{\pi}{4}\right)\right] = \frac{1}{\sqrt{2}} \] После этого мы можем попытаться решить уравнение дальше или воспользоваться численными методами для нахождения численного решения \(x\), так как текущее уравнение уже достаточно сложно для аналитического решения.