Question

Решите уравнение sin5x cos4x-cos5x sin4x=1

Answer 1

Формула: син(а+б)=сина•косб+коса•синб
Получается: син(5х-4х)=1
Синх=1
х=п/2+пн; ясно?

Answer 2

Давайте решим уравнение:

\[ \sin(5x) + \cos(4x) - \cos(5x) + \sin(4x) = 1 \]

Для удобства решения, воспользуемся тригонометрическими тождествами. В частности, воспользуемся формулой синуса суммы для \(\sin(\alpha + \beta)\) и формулой косинуса суммы для \(\cos(\alpha + \beta)\):

\[ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta \] \[ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta \]

Применим эти формулы к уравнению:

\[ \sin(5x) + \cos(4x) - \cos(5x) + \sin(4x) \]

\[ = \sin(4x + x) + \cos(4x) - (\cos(4x + x) - \sin(4x)) \]

Теперь раскроем скобки:

\[ = \sin(4x)\cos(x) + \cos(4x) - (\cos(4x)\cos(x) - \sin(4x)) \]

\[ = \sin(4x)\cos(x) + \cos(4x) - \cos(4x)\cos(x) + \sin(4x) \]

Группируем подобные члены:

\[ = \sin(4x)\cos(x) - \cos(4x)\cos(x) + \cos(4x) + \sin(4x) \]

Теперь можем упростить уравнение:

\[ \sin(4x)\cos(x) - \cos(4x)\cos(x) + \cos(4x) + \sin(4x) = 1 \]

\[ (\sin(4x) - \cos(4x))\cos(x) + (\cos(4x) + \sin(4x)) = 1 \]

\[ \cos(x)\sin(4x) - \cos(x)\cos(4x) + \cos(4x) + \sin(4x) = 1 \]

Теперь попробуем сгруппировать члены, содержащие \(\cos(x)\):

\[ \cos(x)(\sin(4x) - \cos(4x) + 1) + \sin(4x) = 1 \]

Теперь у нас есть уравнение, которое можно решить относительно \(\cos(x)\):

\[ \cos(x)(\sin(4x) - \cos(4x) + 1) = 1 - \sin(4x) \]

\[ \cos(x) = \frac{1 - \sin(4x)}{\sin(4x) - \cos(4x) + 1} \]

\[ \cos(x) = \frac{1 - \sin(4x)}{2\sin^2(2x) - 2\cos^2(2x) + 1} \]

Теперь мы можем воспользоваться формулой \(\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1\), чтобы упростить знаменатель:

\[ \cos(x) = \frac{1 - \sin(4x)}{2(1 - \cos^2(2x)) - 2\cos^2(2x) + 1} \]

\[ \cos(x) = \frac{1 - \sin(4x)}{2 - 2\cos^2(2x) - 2\cos^2(2x) + 1} \]

\[ \cos(x) = \frac{1 - \sin(4x)}{-2\cos^2(2x) + 3} \]

Теперь мы имеем уравнение относительно \(\cos(x)\), которое можно решить. Однако, решение этого уравнения может быть довольно сложным, и я могу предоставить ответ в числовой форме, но не в аналитической форме. Если вы хотите числовое решение, дайте мне знать, и я могу продолжить.