Question

90 БАЛЛОВ f(x)=8x²-x⁴ 1) Найти точки максимума и минимума 2) Найти где функция возрастает, а где убывает 3) Найти найти наибольшее и наименьшее значение в промежутке [-1;3] 4) Построить график

Answer 1

Ответ на фотографии, пояснения там же.

Answer 2

Ответ:приложено

Объяснение:

Answer 3

1) Чтобы найти точки максимума и минимума функции f(x), сначала найдем ее производную: f'(x) = 16x - 4x^3. Затем приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение: 16x - 4x^3 = 0. Факторизуем это уравнение: 4x(4 - x^2) = 0. Таким образом получаем два решения: x = 0 и x = 2. Теперь найдем значение функции в найденных точках и в точках, где производная не существует. Подставим эти значения в исходную функцию: f(0) = 8(0)^2 - (0)^4 + 1 = 1, f(2) = 8(2)^2 - (2)^4 + 1 = 23, и в точку x = ±√2 (где производная обращается в бесконечность, а значит функция имеет вертикальные асимптоты): f(√2) = 8(√2)^2 - (√2)^4 + 1 = 10, f(-√2) = 8(-√2)^2 - (-√2)^4 + 1 = 10. Таким образом, точки максимума и минимума функции f(x) равны: Минимум: (0, 1), Максимум: (2, 23). 2) Чтобы найти интервалы, на которых функция возрастает и убывает, проанализируем знак производной функции f'(x). f'(x) = 16x - 4x^3. Выразим f'(x) в канонической форме: f'(x) = 4x(4 - x^2). Из этого уравнения видно, что функция возрастает, когда f'(x) > 0, и убывает, когда f'(x) < 0. Для этого необходимо исследовать знаки производной на интервалах (-∞, -√2), (-√2, 0), (0, √2), (√2, +∞). f'(-∞) = -∞, f'(-√2) = -∞, f'(0) = 0, f'√2) = +∞, f'(+∞) = +∞. Из этого следует, что функция f(x) возрастает на интервалах (-√2, 0) и (√2, +∞), и убывает на интервалах (-∞, -√2) и (0, √2). 3) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке [-1;3], подставим концы интервала и найденные точки экстремумов в функцию f(x) и найдем наименьший и наибольший результат: f(-1) = 8(-1)^2 - (-1)^4 + 1 = 9, f(3) = 8(3)^2 - (3)^4 + 1 = -59, f(0) = 1, f(2) = 23, f(√2) = 10, f(-√2) = 10. Таким образом, на промежутке [-1;3] наименьшее значение равно -59 и достигается в точке x = 3, а наибольшее значение равно 23 и достигается в точке x = 2. 4) График функции f(x) = 8x^2 - x^4 + 1 можно построить, задавая значения x и вычисляя соответствующие значения y = f(x). Полученные точки можно затем соединить линией. [Визуализация графика функции f(x) на промежутке [-1;3]]