Question

Интеграл от 0 до 2 (x)/(x^2+2.5)dx

Answer 1

       x dx          1          2x dx          1          d(x²+2,5)          1

∫ ----------- = ---- * ∫ ----------- = ------ * ∫ --------------- = ------ * ln | x²+2,5 | |₀²=1/2(ln6,5-ln2,5)=

     x²+2,5        2         x²+2,5         2            x²+2,5             2    

                  6,5

=1/2 * ln-------- =1/2 *ln2,6 

                   2,5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 2

Чтобы решить данный интеграл, можно использовать метод частичных дробей.

Итак, заданный интеграл:

∫(0 до 2) (x)/(x^2 + 2.5) dx

Для начала разложим функцию под интегралом на простые дроби:

(x)/(x^2 + 2.5) = A/(x - α) + B/(x - β)

где A и B - неизвестные коэффициенты, α и β - корни знаменателя x^2 + 2.5.

Найдем корни знаменателя:

x^2 + 2.5 = 0

x^2 = -2.5

x = ±√(-2.5)

x = ±√(-2.5) = ±√(2.5 * -1) = ±i√2.5

Таким образом, корни знаменателя - это комплексные числа i√2.5 и -i√2.5.

Продолжим разложение на простые дроби:

(x)/(x^2 + 2.5) = A/(x - i√2.5) + B/(x + i√2.5)

Теперь найдем неизвестные коэффициенты A и B, с помощью общего подхода к разложению на простые дроби.

Умножим обе части полученного уравнения на (x^2 + 2.5), чтобы избавиться от знаменателя:

x = A(x + i√2.5) + B(x - i√2.5)

Раскроем скобки:

x = Ax + Ai√2.5 + Bx - Bi√2.5

Соберем все части с одинаковыми переменными вместе:

Ax + Bx = x

(A + B) x = x

Теперь у нас есть линейное уравнение, в котором коэффициенты при x слева и справа равны. Следовательно,

A + B = 1

Аналогично, приравняем коэффициенты при i√2.5:

Ai√2.5 - Bi√2.5 = 0

(A - B) i√2.5 = 0

Так как i√2.5 ≠ 0, то (A - B) = 0. Это значит, что A = B.

Используя ранее полученное равенство A + B = 1, можем найти значения A и B:

A + A = 1

2A = 1

A = 1/2

Теперь, зная значение A, можем найти значение B:

1/2 + B = 1

B = 1 - 1/2

B = 1/2

Таким образом, разложение на простые дроби будет выглядеть следующим образом:

(x)/(x^2 + 2.5) = (1/2)/(x - i√2.5) + (1/2)/(x + i√2.5)

Воспользуемся этим разложением для нахождения интеграла:

∫(0 до 2) (x)/(x^2 + 2.5) dx = ∫(0 до 2) (1/2)/(x - i√2.5) + (1/2)/(x + i√2.5) dx

Так как полученные дроби имеют линейное знаменатель, интегрирование производится очень просто:

∫(0 до 2) (1/2)/(x - i√2.5) + (1/2)/(x + i√2.5) dx = (1/2)ln|x - i√2.5| + (1/2)ln|x + i√2.5| + C

где C - постоянная интегрирования.

Подставим границы интегрирования:

(1/2)ln|2 - i√2.5| + (1/2)ln|2 + i√2.5| - (1/2)ln|0 - i√2.5| - (1/2)ln|0 + i√2.5|

Так как натуральный логарифм i равен iπ/2, получаем:

(1/2)ln|2 - i√2.5| + (1/2)ln|2 + i√2.5| - (1/2)ln|- i√2.5| - (1/2)ln|i√2.5|

(1/2)ln|2 - i√2.5| + (1/2)ln|2 + i√2.5| - (1/2)ln|√2.5| - (1/2)ln|√2.5|

Так как ln(a) - ln(b) = ln(a/b), то:

ln((2 - i√2.5)/(2 + i√2.5)) - ln(√2.5) + ln(√2.5)

ln((2 - i√2.5)/(2 + i√2.5))

Таким образом, окончательный ответ:

∫(0 до 2) (x)/(x^2 + 2.5) dx = ln((2 - i√2.5)/(2 + i√2.5))