Question

Знайти об’єм тіла,утвореного обертанням навколо осі Оу фігури, обмеженої прямими у=2х, х=0, у=5.

Answer 1

Ответ:     ≈65.45 куб. ед.

Объяснение:

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОУ фигуры, ограниченной прямыми у = 2х, х=0, у=5.

V=π∫(a;b)f(x)²dx =π∫(a;b) (2x)²dx

Пределы интегрирования a=0;  b=2.5.

(См. скриншот)

V=π∫(0;2.5)(2x)^2dx = π∫(0;2.5)(4x^2)dx=π(0;2.5)4/3*(x^3)|(0;2.5) =

= π*4/3(2.5^3-0^3) = π4/3*(15.625-0) = π(125/6)=125π/6 ≈65.45 куб. ед.

Answer 2

Для знаходження об'єму тіла, утвореного обертанням навколо осі Оу фігури, обмеженої прямими у=2х, х=0, у=5, потрібно використати метод циліндричних оболонок.

В даному випадку, розглянемо навколо осі Оу маленькі циліндричні оболонки, паралельні осі Ох. Кожна оболонка має висоту dy і радіус, що дорівнює відстані між прямими у=2х і у=5 у точці y.

Для знаходження радіусу оболонки потрібно розв'язати систему рівнянь у=2х і у=5:
2х = 5,
2х - 5 = 0,
х = 5/2,
х = 2.5.

Отже, радіус оболонки у точці y дорівнює 2.5.

Об'єм кожної оболонки можна обчислити за формулою V = π * r^2 * dy, де r - радіус, dy - висота оболонки.

Таким чином, об'єм всього тіла, утвореного обертанням навколо осі Оу фігури, можна обчислити за формулою
V = ∫[a,b] π * r^2 dy,
де a та b - границі інтервалу у, на якому знаходиться фігура.

В даному випадку, a = 2, b = 5.

V = ∫[2,5] π * (2.5)^2 dy = π * 2.5^2 * ∫[2,5] dy.

Вираз ∫[2,5] dy означає наближену площу під кривою y=5 у проміжку [2,5]. Ця площа може бути обчислена геометрично або за допомогою площі під кривою формули, що міститься у програмах для обчислення площ під кривими.

Після обчислення цього інтегралу ми отримаємо значення об'єму заданого тіла.

Отже, об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Оу фігури, обмеженої прямими у=2х, х=0, у=5, можна обчислити, використовуючи формулу V = π * 2.5^2 * [значення інтегралу ∫[2,5] dy].

Деталі щодо обчислення цього інтегралу вийшли б за рамки даної відповіді, оскільки потребували б розгляду чисельних методів обчислення інтегралів. Найкраще звернутися до підручників з математики або скористатися відповідними програмами для обчислення чисельних інтегралів.