Question

Решите показательное уравнение 2^(2x^2-6x)/12^(3-x)=12^(1-2x)/3^(x^2-3x)

Answer 1

$\frac{2^{2x^2-6x}}{12^{3-x}}=\frac{12^{1-2x}}{3^{x^2-3x}}\\\\12^{3-x}\cdot12^{1-2x}=2^{2x^2-6x}\cdot3^{x^2-3x}\\\\12^{3-x+1-2x}=2^{2(x^2-3x)}\cdot3^{x^2-3x}\\\\12^{4-3x}=(2^2)^{x^2-3x}\cdot3^{x^2-3x}\\\\12^{4-3x}=4^{x^2-3x}\cdot3^{x^2-3x}\\\\12^{4-3x}=(4\cdot3)^{x^2-3x}\\\\12^{4-3x}=12^{x^2-3x}\\\\x^2-3x=4-3x\\\\x^2-3x-4+3x=0\\\\x^2-4=0\\\\(x-2)(x+2)=0\\\\x-2=0 \ \ \ \ \ \ \ \ x+2=0\\\\x=2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=-2$

Answer 2

Чтобы решить это показательное уравнение, мы можем применить свойства показательных функций.

1. Приведем основания к одному значению, используя следующие свойства:
a) 2^(2x^2-6x) = (2^2)^(x^2-3x) = 4^(x^2-3x)
b) 12^(3-x) = (2^2 * 3)^(3-x) = (2^2)^(3-x) * 3^(3-x) = 4^(3-x) * 3^(3-x)
c) 12^(1-2x) = 4^(1-2x) * 3^(1-2x)

Теперь уравнение примет вид:
(4^(x^2-3x) * 3^(3-x)) / (4^(3-x) * 3^(3-x)) = (4^(1-2x) * 3^(1-2x)) / (3^(x^2-3x))

2. Упростим уравнение:
4^(x^2-3x) / 4^(3-x) = 4^(1-2x) / 3^(x^2-3x)

По свойству деления с одинаковыми основаниями, основания можно вычеркнуть:
4^(x^2-3x - (3-x)) = 4^(1-2x) / 3^(x^2-3x)

Упростим показатели и приведем уравнение к виду:
4^(x^2-3x + x - 3) = 4^(1-2x) / 3^(x^2-3x)

4^(x^2-2x - 3) = 4^(1-2x) / 3^(x^2-3x)

3. Применим свойство равенства степеней с одной и той же базой:
x^2-2x - 3 = 1-2x

Распишем уравнение в квадратном виде и приведем его к виду:
x^2 - 2x - 3 - 1 + 2x = 0
x^2 - 4 = 0

4. Решим уравнение путем факторизации:
(x - 2)(x + 2) = 0

Здесь мы получаем два возможных значения x:
x - 2 = 0, что дает x = 2
x + 2 = 0, что дает x = -2

Таким образом, решением данного показательного уравнения являются x = 2 и x = -2.