Question

Докажите, что значение многочлена a^2-4a+5 при любом значении a положительно

Answer 1

a² - 4a + 5 = a² - 4a + 4 + 1 = (a - 2)² + 1.

Любое число в квадрате положительно, следовательно значение многочлена положительно при любом a.

Answer 2

a^2 - 4a = 5 = a^2 - 4a + 4 + 1 = (a - 2)^2 + 1

Сумма квадрата и положительного числа всегда положительна.

Answer 3

Для доказательства, что значение многочлена \(a^2 - 4a + 5\) положительно при любом значении \(a\), мы можем использовать метод завершения квадратного трёхчлена. Во-первых, давайте выразим данный многочлен в виде суммы квадрата некоторого выражения и постоянной: \[a^2 - 4a + 5 = (a^2 - 4a + 4) + 1\] Заметим, что \(a^2 - 4a + 4\) - это квадрат выражения \(a - 2\), так как \((a - 2)^2 = a^2 - 4a + 4\). Теперь мы можем переписать исходный многочлен следующим образом: \[a^2 - 4a + 5 = (a - 2)^2 + 1\] Теперь мы видим, что значение многочлена представляет собой квадрат некоторого выражения \((a - 2)^2\) плюс единицу. Так как квадрат числа всегда неотрицателен (то есть \((a - 2)^2 \geq 0\) для любого \(a\)), то добавление к неотрицательному числу (квадрату) единицы также даст неотрицательное число. Таким образом, значение многочлена \(a^2 - 4a + 5\) всегда не меньше единицы. Для того чтобы доказать, что значение многочлена положительно, нужно также учесть случай, когда \((a - 2)^2 = 0\). Это происходит только в том случае, если \(a = 2\). Однако, даже в этом случае, значение многочлена будет положительным, так как \(2^2 - 4 \cdot 2 + 5 = 4 - 8 + 5 = 1\). Таким образом, мы доказали, что значение многочлена \(a^2 - 4a + 5\) положительно при любом значении \(a\).