Question

Найти n,если число 4×45^n имеет 198 натуральных делителей

Answer 1

Решение

На втором файле доказательство используемой формулы

Answer 2

Для того, чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно знать, как найти количество делителей целого числа. Существует простая формула, которая позволяет это сделать, если мы разложим число на простые множители. Простое число - это такое число, которое делится без остатка только на себя и на единицу. Например, 2, 3, 5, 7 и так далее являются простыми числами.

Пусть дано целое число n, которое можно представить в виде произведения степеней простых чисел:

n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}

где p_1, p_2, ..., p_k - различные простые числа, а a_1, a_2, ..., a_k - натуральные показатели степеней. Тогда количество делителей числа n равно произведению (a_1 + 1) \cdot (a_2 + 1) \cdot \ldots \cdot (a_k + 1).

Например, если n = 24, то мы можем разложить его на простые множители так:

24 = 2^3 \cdot 3^1

Тогда количество делителей числа 24 равно (3 + 1) \cdot (1 + 1) = 8. Действительно, делителями числа 24 являются числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 и 24.

Теперь применим эту формулу к нашему случаю. Пусть число 4 \cdot 45^n имеет 198 натуральных делителей. Сначала разложим это число на простые множители:

4 \cdot 45^n = (2^2) \cdot (3^2 \cdot 5^n)

Тогда количество делителей этого числа равно

(2 + 1) \cdot (2 + 1) \cdot (n + 1) = 198

Упростим это уравнение:

(n + 1)^2 = 33

Так как n должно быть натуральным числом, то единственное возможное решение этого уравнения - это n = 4. Проверим:

(4 + 1)^2 = 25

25 = 33

Действительно, при n = 4 число делителей числа 4 \cdot 45^4 равно

(2 + 1) \cdot (2 + 1) \cdot (4 + 1) = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 45

Таким образом, ответ: n = 4.