Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = -х³, у = 0 и у = 2 + х

Answer 1

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = - х³, у = 0 и у = 2 + х.

РЕШЕНИЕ:

$y = - {x}^{3}$
степенная функция, графиком которой является кубическая парабола, проходящая из || координатной четверти в |V четверть ( розовая кривая )

$y = x + 2$
линейная функция, графиком которой прямая, проходящая из | коорд. четверти в ||| четверть ( синяя прямая )

$y = 0$
это вся ось Ох

--------------------------------------------------

Нарисуем эти линии и найдём абсциссы точек их пересечения, приравняв правые части функций у = - х³ и у = х + 2.

$- {x}^{3} = x + 2 \\ {x}^{3} + x + 2 = 0 \\ ( {x}^{3} + 1) + (x + 1) = 0 \\ (x + 1)( {x}^{2} - x + 1) + (x + 1) = 0 \\ (x + 1)( {x}^{2} - x + 2) = 0$
Из первой скобки получаем х = - 1 , а вторая скобка действительных корней не имеет.

Искомая площадь фигуры АВС может быть получена как сумма площадей криволинейной трапеции ВСD и треугольника ACD.
Найдём первообразную функции у = - х³:
F(x) = - x^4 / 4 + C
По формуле Ньютона - Лейбница:
S = F(b) - F(a)
S bcd = F( 0 ) - F( - 1 ) = - 0^4 / 4 - ( - ( - 1 )^4 / 4 ) = 1 / 4 = 0,25
S acd = AD • CD / 2 = 1 • 1 / 2 = 1 / 2 = 0,5

Следовательно, площадь фигуры АВС равна:
S abc = S bcd + S acd = 0,25 + 0,5 = 0,75


ОТВЕТ: 0,75

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками у = -x³, у = 0 и у = 2x, мы должны найти точки их пересечения и затем вычислить площадь, ограниченную этими кривыми.

1. Найдем точки пересечения кривых: - Пересечение у = -x³ и у = 0: Поставим у = 0 в уравнение у = -x³: 0 = -x³ Это уравнение имеет один корень при x = 0.

- Пересечение у = -x³ и у = 2x: Поставим у = 2x в уравнение у = -x³: 2x = -x³ Для решения этого уравнения мы можем переписать его в виде: 2x + x³ = 0 x(x² + 2) = 0 Здесь есть два корня: x = 0 и x = √2.

2. Теперь мы знаем, что кривые пересекаются в точках (0, 0), (0, 2), и (√2, 2).

3. Площадь фигуры ограничена этими кривыми и осями x. Мы можем разделить эту фигуру на две части: одну между x = 0 и x = √2, и вторую между x = √2 и x = 0.

4. Рассмотрим первую часть: - Между x = 0 и x = √2, верхняя кривая у = 2x, а нижняя кривая у = -x³. - Для вычисления площади этой части, нам нужно вычислить интеграл разности этих функций по x в интервале [0, √2]. - Интеграл площади первой части: ∫[0, √2] (2x - (-x³)) dx.

5. Теперь рассмотрим вторую часть: - Между x = √2 и x = 0, верхняя кривая у = -x³, а нижняя кривая у = 0. - Для вычисления площади этой части, нам нужно вычислить интеграл разности этих функций по x в интервале [√2, 0]. - Интеграл площади второй части: ∫[√2, 0] (-x³ - 0) dx.

6. Теперь мы можем вычислить общую площадь, сложив площади обеих частей: - Общая площадь = ∫[0, √2] (2x - (-x³)) dx + ∫[√2, 0] (-x³ - 0) dx.

7. Рассчитаем эти интегралы: - Первый интеграл: ∫[0, √2] (2x + x³) dx = [x² + (x⁴)/4] |[0, √2] = (√2² + (√2⁴)/4) - (0² + (0⁴)/4) = (2 + 2/4) - (0 + 0) = 2.5. - Второй интеграл: ∫[√2, 0] (-x³) dx = -[(x⁴)/4] |[√2, 0] = -(0 - (√2⁴)/4) = -(-8/4) = 2.

8. Теперь сложим результаты: - Общая площадь = 2.5 + 2 = 4.5.

Итак, площадь фигуры, ограниченной графиками у = -x³, у = 0 и у = 2x, равна 4.5 квадратным единицам.