Question

Решить каноническое уравнение прямой (x + 1)/2 = (y - 4)/-3 = (z - 2)/2

Answer 1

Каноническое уравнение прямой нельзя "решить". По определению, это геометрическое место точек, удовлетворяющих данному равенству.

Возможно приведение к параметрическому виду:

$\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 4}{-3} = \frac{z - 2}{2} = t \\\begin{equation*}\begin{cases}x = 2t - 1 \\y = -3t + 4\\z = 2t + 2\end{cases}\end{equation*}$

Answer 2

Для начала, перепишем данное уравнение в параметрической форме:

x + 1 = 2t y - 4 = -3t z - 2 = 2t

Здесь t - параметр.

Теперь найдем координаты двух произвольных точек, лежащих на данной прямой.

Пусть t1 = 0, тогда получим: x1 = 2·0 - 1 = -1 y1 = -3·0 + 4 = 4 z1 = 2·0 + 2 = 2

Точка A(-1, 4, 2) лежит на прямой.

Пусть теперь t2 = 1, тогда: x2 = 2·1 - 1 = 1 y2 = -3·1 + 4 = 1 z2 = 2·1 + 2 = 4

Точка B(1, 1, 4) также лежит на прямой.

Теперь можем записать каноническое уравнение прямой, проходящей через точки A и B:

x - x1 y - y1 z - z1 ------- = ------- = ------- x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1

Подставляя значения координат точек A и B, получим:

x + 1 y - 4 z - 2 ------ = ------- = ------- 2 -3 2

Домножим каждое уравнение на соответствующий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:

3(x + 1) = 2(y - 4) 2(x + 1) = 2(z - 2)

Раскроем скобки:

3x + 3 = 2y - 8 2x + 2 = 2z - 4

Упростим уравнения:

3x - 2y = -11 2x - 2z = 2

Таким образом, получаем каноническое уравнение прямой:

3x - 2y = -11 2x - 2z = 2