Question

РЕШИТЕ УРАВНЕНИЕ 4 + 2sin2x - 5sinx - 5cosx=0

Answer 1

$4+2sin2x-5sinx-5cosx=0\\\\4+2\, sin2x-5(sinx+cosx)=0\\\\t=sinx+cosx\; ,\\\\t^2=(sinx+cosx)^2=sin^2x+cos^2x+2\, sinx\cdot cosx=1+sin2x\; ,\\\\sin2x=t^2-1\\\\4+2(t^2-1)-5t=0\\\\2t^2-5t+2=0\; ,\; \; D=9\; ,\; t_1=\frac{1}{2}\; ,\; t_2=2\\\\a)\; \; sinx+cosx=\frac{1}{2}\; |:\sqrt2\\\\\frac{1}{\sqrt2}\, sinx+\frac{1}{\sqrt2}\, cosx=\frac{1}{2\sqrt2}\\\\sin\frac{\pi }{4}\cdot sinx+cos\frac{\pi }{4}\cdot cosx=\frac{\sqrt2}{4}\\\\cos(x-\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt2}{4}\\\\x-\frac{\pi}{4}=\pm arccos\frac{\sqrt2}{4}+2\pi n,\; n\in Z$

$x=\frac{\pi }{4}\pm arccos\frac{\sqrt2}{4}+2\pi n,\; n\in Z\\\\b)\; \; sinx+cosx=2\; |:\sqrt2\\\\cos(x-\frac{\pi }{4})=\sqrt2>1\; \; \Rightarrow \; \; x\in \varnothing \; \; (-1\leq cosx\leq 1)\\\\Otvet:\; \; x=\frac{\pi }{4}\pm arccos\frac{\sqrt2}{4} +2\pi n,\; n\in Z$

Answer 2

Дано уравнение:

4 + 2sin^2x - 5sinx - 5cosx = 0

Перепишем уравнение в виде:

2sin^2x - 5sinx - 5cosx + 4 = 0

Мы видим, что в данном уравнении присутствуют не только синусы, но и косинусы. Обычно в таких случаях используются тригонометрические тождества для приведения подобных слагаемых.

Для начала заменим cosx на 1 - sin^2x, тогда уравнение примет вид:

2sin^2x - 5sinx - 5(1 - sin^2x) + 4 = 0

Раскроем скобки и упростим уравнение:

2sin^2x - 5sinx - 5 + 5sin^2x + 4 = 0

7sin^2x - 5sinx - 1 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно синуса x. Для его решения можно использовать формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

a = 7, b = -5, c = -1

D = (-5)^2 - 4*7*(-1) = 25 + 28 = 53

Дискриминант D равен 53. Так как D > 0, то у уравнения есть два корня.

Теперь можем воспользоваться формулой для найденных корней квадратного уравнения:

sinx = (-b +- sqrt(D)) / (2a)

Так как sinx находится в пределах от -1 до 1, то выберем только те корни, которые удовлетворяют этому условию.

Первый корень:

sinx = (-(-5) + sqrt(53)) / (2*7) = (5 + sqrt(53)) / 14

Второй корень:

sinx = (-(-5) - sqrt(53)) / (2*7) = (5 - sqrt(53)) / 14

Теперь, чтобы найти значения x, можно воспользоваться арксинусом:

x = arcsin((5 + sqrt(53)) / 14) + 2pi * n, где n - целое число

x = arcsin((5 - sqrt(53)) / 14) + 2pi * n, где n - целое число

Таким образом, уравнение имеет бесконечное количество решений в виде:

x = arcsin((5 + sqrt(53)) / 14) + 2pi * n x = arcsin((5 - sqrt(53)) / 14) + 2pi * n