Question

Найдите наибольшее значение функции f(x)=(x-1)/x^2 на отрезке [1;3]

Answer 1

F(2)=1/4=0,25
2-точка максимума тк производная равна 
y'=(2-x)*2x/x^3
y'=0 при х=2
поэтому подставляем 2 и получаем 0.25

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции f(x) = (x-1)/x^2 на отрезке [1;3] мы сначала найдем ее производную и приравняем ее к нулю, чтобы найти точки, в которых функция может достигать экстремума.

Для начала, найдем производную функции f(x) по переменной x. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования для частных производных:

f'(x) = (d/dx)((x-1)/x^2) = [(1*x^2 - (x-1)*2x)] / (x^2)^2 = (x^2 - 2x^2 + 2x) / x^4 = (-x^2 + 2x) / x^4 = (-x + 2) / x^3

Теперь приравниваем производную f'(x) к нулю и решим полученное уравнение:

(-x + 2) / x^3 = 0

-x + 2 = 0

x = 2

Таким образом, мы получили, что функция может достигать экстремума в точке x = 2.

Чтобы понять, является ли точка x = 2 максимумом или минимумом, проведем анализ знаков производной в окрестности этой точки.

Подставим значения, близкие к 2, в производную f'(x):

При x = 1.5: f'(1.5) = (-1.5 + 2) / (1.5^3) < 0 При x = 2.5: f'(2.5) = (-2.5 + 2) / (2.5^3) > 0

Таким образом, мы видим, что функция меняет знак производной, переходя из отрицательного в положительный, что означает, что в точке x = 2 функция достигает минимума.

Теперь, чтобы найти наибольшее значение функции f(x) на отрезке [1;3], подставим конечные точки отрезка и найдем все промежуточные значения:

f(1) = (1-1)/1^2 = 0/1 = 0

f(2) = (2-1)/2^2 = 1/4 = 0.25

f(3) = (3-1)/3^2 = 2/9 ≈ 0.2222

Таким образом, наибольшее значение функции f(x) на отрезке [1;3] составляет 0.25 и достигается при x = 2.