Question

Как понять, что матрица обратима? Как это доказать?

Answer 1

Матрица обратима = ее определитель не равен 0.
Доказать можно, описав алгоритм построения обратной матрицы (см. алгебраическое дополнение; лемма о фальшивом разложении определителя)

Answer 2

Матрица обратима, если ее определитель отличен от нуля. Доказательство этого факта можно провести несколькими способами:

1. Метод Гаусса: преобразуем матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк. Если в полученной ступенчатой матрице нет нулевых строк, то определитель ненулевой, и следовательно, матрица обратима.

2. По определению обратной матрицы: пусть дана матрица A. Если существует такая матрица B, что AB = BA = I (единичная матрица), то матрица A является обратимой. Для доказательства этого необходимо найти обратную матрицу, выполнив элементарные преобразования над матрицей A вида [A | I], где I - единичная матрица, и получив [I | B]. Если это возможно, то матрица A обратима и обратная матрица B является ее обратной.

3. Метод поиска обратной матрицы через алгебраические дополнения: если определитель матрицы A отличен от нуля, то можно построить алгебраическое дополнение для каждого элемента матрицы и создать матрицу из алгебраических дополнений. Затем транспонируем эту матрицу и разделим на определитель матрицы A. Полученная матрица является обратной для исходной матрицы A, если A и B удовлетворяют условию AB = BA = I.

В общем случае, если определитель матрицы равен нулю, то матрица является вырожденной и не имеет обратной. Если определитель не равен нулю, то матрица является обратимой и имеет обратную матрицу.