Question

Доказать, что если А — диагональная матрица и все элементы ее главной диагонали различны между собой, то любая матрица, перестановочная с А, тоже диагональна

Answer 1

Пусть $A=diag(a_1, a_2...a_n),\: B=(b_{ij}),\: AB=BA=C=(c_{ij})$

Выразим $c_{ij}$ из произведения $AB$: $c_{ij}=(0\:...\:a_i\:...\:0)*\left[\begin{array}{ccc}b_{1j}\\...\\b_{nj}\end{array}\right] =a_ib_{ij}$

Аналогично с $BA$: $c_{ij}=(b_{i1}\:...\:b_{in})*\left[\begin{array}{ccc}0\\...\\a_j\\...\\0\end{array}\right] =a_jb_{ij}$

Тогда $a_ib_{ij}=a_jb_{ij}$. Т.к. $a_i\neq a_j, i\neq j$, то $b_{ij}=0, i\neq j$, т.е. все элементы, находящиеся не на диагонали, нулевые. А это и означает, что матрица $B$ диагональная.

Доказано.

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение.

Пусть A - диагональная матрица размера n x n, и все элементы ее главной диагонали различны между собой. Пусть B - произвольная матрица, которая перестановочна с A, то есть AB = BA.

Так как A - диагональная матрица, то она имеет следующий вид:

A = | a₁ 0 0 ... 0 | | 0 a₂ 0 ... 0 | | 0 0 a₃ ... 0 | | 0 0 0 ... an |

где a₁, a₂, ..., an - различные элементы главной диагонали матрицы A.

Теперь рассмотрим произведение AB:

AB = | a₁ 0 0 ... 0 | * | b₁₁ b₁₂ b₁₃ ... b₁n | | 0 a₂ 0 ... 0 | | b₂₁ b₂₂ b₂₃ ... b₂n | | 0 0 a₃ ... 0 | | b₃₁ b₃₂ b₃₃ ... b₃n | | 0 0 0 ... an | | ... | | bn₁ bn₂ bn₃ ... bnn |

Мы видим, что при умножении матрицы A на матрицу B, элементы матрицы B умножаются только на соответствующие элементы матрицы A на главной диагонали. Это происходит потому, что все элементы вне главной диагонали матрицы A равны нулю.

Теперь давайте рассмотрим, что означает перестановочность AB = BA. Это означает, что для любых i и j (1 <= i, j <= n) выполняется условие:

(AB)_ij = (BA)_ij

По определению умножения матриц, элемент (AB)_ij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на элементы j-го столбца матрицы B. Аналогично, элемент (BA)_ij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы B на элементы j-го столбца матрицы A.

Так как элементы матрицы A имеют нулевые элементы вне главной диагонали, то произведения элементов i-й строки матрицы A на элементы j-го столбца матрицы B равны нулю для всех i ≠ j.

Теперь давайте рассмотрим случай i = j. В этом случае:

(AB)_ij = (BA)_ij

Это означает, что a_i * b_ij = b_ij * a_i.

Поскольку a_i - это элементы главной диагонали матрицы A, и они различны между собой, то это можно записать как:

a_i * b_ij = a_i * b_ij

Таким образом, для всех элементов i и j (1 <= i, j <= n) выполнено условие (AB)_ij = (BA)_ij, что означает, что матрицы AB и BA равны поэлементно.

Теперь давайте вернемся к матрице B и её произведению с A:

AB = BA

Так как матрицы AB и BA равны поэлементно, то элементы матрицы B должны быть равны элементам матрицы A на главной диагонали. Это означает, что матрица B также является диагональной матрицей с различными элементами на главной диагонали.

Таким образом, мы доказали, что если A - диагональная матрица с различными элементами на главной диагонали, и B - матрица, перестановочная с A, то B также является диагональной матрицей с различными элементами на главной диагонали.