Question

Известно, что квадратная матрица A = (a b c d ) перестановочна с любой другой матрицей 2×2. Докажите, что — скалярная матрица (то есть её элементы вне главной диагонали нулевые, а элементы на главной диагонали равны друг другу).

Answer 1

Ответ:

ниже читай

Объяснение:

Для доказательства данного утверждения давайте рассмотрим произвольную матрицу B = (e f g h), где e, f, g и h - произвольные элементы. Мы знаем, что матрица A перестановочна с любой другой матрицей 2×2, что означает:

AB = BA

Теперь давайте умножим матрицу A на матрицу B слева:

AB = (a b c d) * (e f g h)

Это дает нам следующие уравнения для произведения:

ae + bg = ea + fb (1)

af + bh = ec + fd (2)

ce + dg = ga + hb (3)

cf + dh = gc + hd (4)

Теперь давайте рассмотрим уравнение (1). Учитывая, что AB = BA, мы можем записать это уравнение как:

ae + bg = ae + bf

Теперь вычтем ae с обеих сторон:

bg = bf

Так как a ≠ b (по условию, элементы на главной диагонали матрицы A равны друг другу), мы можем поделить обе стороны на (a - b):

g = f

Аналогичным образом, анализируя уравнения (2), (3) и (4), мы также приходим к выводу, что:

h = e

c = d

c = e

f = g

g = h

Таким образом, элементы матрицы B находящиеся вне главной диагонали равны между собой (e, f, g, h), и элементы на главной диагонали также равны друг другу. Таким образом, матрица B является скалярной матрицей.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения давайте рассмотрим две произвольные матрицы 2x2:

1. Первая матрица A = (a b c d) - дана в условии задачи.
2. Вторая матрица B = (e f g h) - это произвольная матрица 2x2.

Мы знаем, что матрица A перестановочна с матрицей B. Это означает, что AB = BA. Давайте умножим матрицу A на матрицу B и сравним результат с умножением матрицы B на матрицу A:

AB = (a b c d) * (e f g h) = (ae + bg af + bh ce + dg cf + dh)

BA = (e f g h) * (a b c d) = (ea + fc eb + fd ga + hc gb + hd)

Из условия AB = BA следует, что:

ae + bg = ea + fc ...(1) af + bh = eb + fd ...(2) ce + dg = ga + hc ...(3) cf + dh = gb + hd ...(4)

Давайте рассмотрим уравнения (1) и (2):

ae + bg = ea + fc ...(1) af + bh = eb + fd ...(2)

Выразим a и b из уравнения (1) и (2):

ae + bg = ea + fc ae - ea = fc - bg a(e - e) = fc - bg a(0) = fc - bg 0 = fc - bg fc = bg

af + bh = eb + fd af - eb = fd - bh a(f - b) = fd - bh a(f - b) = d(f - b) a = d

Теперь, имея a = d и fc = bg, рассмотрим уравнения (3) и (4):

ce + dg = ga + hc ...(3) cf + dh = gb + hd ...(4)

Подставим a = d и fc = bg в уравнения (3) и (4):

ce + dg = ga + hc ...(3) cf + dh = gb + hd ...(4)

Выразим c и g из уравнения (3):

ce + dg = ga + hc g(e - h) = c(a - d) g(e - h) = c(0) g(e - h) = 0 g = 0 или e = h

Выразим f из уравнения (4):

cf + dh = gb + hd f(c - b) = h(g - d) f(c - b) = h(0) f(c - b) = 0 f = 0 или c = b

Итак, у нас есть два возможных результата:

1. g = 0 и f = 0
2. e = h и c = b

Первый результат означает, что матрицы A и B коммутируют только в том случае, если они являются скалярными матрицами, где все элементы, кроме элементов на главной диагонали, равны нулю.

Второй результат означает, что матрицы A и B коммутируют только в том случае, если они совпадают скалярными матрицами с равными элементами на главной диагонали.

Таким образом, мы доказали, что если квадратная матрица A перестановочна с любой другой матрицей 2x2, то она либо является скалярной матрицей (с равными элементами на главной диагонали), либо скалярной матрицей с нулевыми элементами вне главной диагонали.