Question

Докажите равенство (а-в)^3=а^3-3а^2в+3ав^2-в^3

Answer 1

Доказать: $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$.
Доказательство:
$(a-b)^3 = (a-b)(a-b)(a-b)= (a-b)^{2} (a-b)=$
$=( a^{2} -2ab+ b^{2} )(a-b)=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$.
Доказано.

Answer 2

Для доказательства равенства `(а - в)^3 = а^3 - 3а^2в + 3ав^2 - в^3`, мы можем воспользоваться биномом Ньютона и разложением куба разности двух переменных.

Бином Ньютона гласит: ``` (a - b)^n = C(n, 0) * a^n * (-b)^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * (-b)^1 + C(n, 2) * a^(n-2) * (-b)^2 + ... + C(n, n-1) * a^1 * (-b)^(n-1) + C(n, n) * a^0 * (-b)^n, ``` где C(n, k) - это биномиальный коэффициент "n по k", равный `C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)`.

Применим бином Ньютона к `(a - v)^3`: ``` (a - v)^3 = C(3, 0) * a^3 * (-v)^0 + C(3, 1) * a^2 * (-v)^1 + C(3, 2) * a^1 * (-v)^2 + C(3, 3) * a^0 * (-v)^3. ```

Теперь посчитаем значения биномиальных коэффициентов: - C(3, 0) = 3! / (0! * (3 - 0)!) = 1, - C(3, 1) = 3! / (1! * (3 - 1)!) = 3, - C(3, 2) = 3! / (2! * (3 - 2)!) = 3, - C(3, 3) = 3! / (3! * (3 - 3)!) = 1.

Подставим эти значения в выражение: ``` (a - v)^3 = 1 * a^3 * 1 + 3 * a^2 * (-v) + 3 * a * (-v)^2 + 1 * (-v)^3. ```

Упростим каждое слагаемое: - `a^3 * 1 = a^3`, - `3 * a^2 * (-v) = -3a^2v`, - `3 * a * (-v)^2 = 3av^2`, - `(-v)^3 = -v^3`.

Теперь объединим все слагаемые: ``` (a - v)^3 = a^3 - 3a^2v + 3av^2 - v^3. ```

Итак, мы доказали равенство `(a - v)^3 = a^3 - 3a^2v + 3av^2 - v^3`, используя бином Ньютона и вычисление биномиальных коэффициентов.