Question

Составьте и решите уравнение F'(x)=F(x)-2x, если F(x)=2x+1/x

Answer 1

Решение на фото вроде так

Answer 2

Для решения этого уравнения F'(x) = F(x) - 2x, нам нужно найти производную функции F(x) и подставить её в уравнение.

Сначала найдем производную функции F(x): F(x) = 2x + 1/x

Чтобы найти производную, воспользуемся правилами дифференцирования. Для первого слагаемого 2x применим правило степенной функции, а для второго слагаемого 1/x применим правило дифференцирования обратной функции.

1. Для 2x: F₁(x) = 2x, тогда F₁'(x) = 2

2. Для 1/x: F₂(x) = 1/x, тогда F₂'(x) = -1/x²

Теперь найдем производную F(x) как сумму производных F₁(x) и F₂(x): F'(x) = F₁'(x) + F₂'(x) F'(x) = 2 - 1/x²

Теперь у нас есть производная F'(x), и мы можем записать уравнение F'(x) = F(x) - 2x:

2 - 1/x² = 2x + 1/x - 2x

Сокращаем 2x с 2x в правой части уравнения:

2 - 1/x² = 1/x

Теперь давайте решим это уравнение. Сначала избавимся от дробей, умножив обе стороны на x²:

2x² - 1 = x

Теперь переносим все члены на одну сторону уравнения:

2x² - x - 1 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем решить его, используя квадратную формулу:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Где a = 2, b = -1 и c = -1. Подставляем значения:

x = (1 ± √(1 - 4 * 2 * (-1))) / (2 * 2)

x = (1 ± √(1 + 8)) / 4

x = (1 ± √9) / 4

x = (1 ± 3) / 4

Таким образом, у нас есть два корня:

x₁ = (1 + 3) / 4 = 4/4 = 1 x₂ = (1 - 3) / 4 = -2/4 = -1/2

Итак, уравнение F'(x) = F(x) - 2x имеет два решения: x = 1 и x = -1/2.