Question

(2-x)/sqrt(x)+sqrt(x)/(2-x) - найти производную

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Чтобы найти производную функции \(\frac{2-x}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{2-x}\), нужно применить правила дифференцирования. Для этого мы можем разделить эту функцию на два слагаемых и затем найти производные отдельно для каждого из них. Давайте начнем с этого:

1. Сначала найдем производную первого слагаемого \(\frac{2-x}{\sqrt{x}}\). Для этого воспользуемся правилом частного дифференцирования:

\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{2-x}{\sqrt{x}}\right) = \frac{\sqrt{x}(2-x)' - (2-x)(\sqrt{x})'}{(\sqrt{x})^2} \]

Где \((2-x)'\) и \((\sqrt{x})'\) - это производные 2-x и \(\sqrt{x} соответственно.

\((2-x)'\) = -1, так как производная константы 2 равна 0 и производная -x равна -1.

\((\sqrt{x})'\) = \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\), это производная функции \(\sqrt{x}\).

Подставив эти значения в формулу, получим:

\[ \frac{\sqrt{x}(-1) - (2-x)\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)}{x} = \frac{-\sqrt{x} - \frac{2-x}{2\sqrt{x}}}{x} \]

Далее упростим это выражение:

\[ \frac{-\sqrt{x} - \frac{2-x}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{-\sqrt{x} - \frac{2}{2\sqrt{x}} + \frac{x}{2\sqrt{x}}}{x} = -\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{2x} + \frac{1}{2\sqrt{x}} \]

2. Теперь найдем производную второго слагаемого \(\frac{\sqrt{x}}{2-x}\). Для этого также воспользуемся правилом частного дифференцирования:

\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{\sqrt{x}}{2-x}\right) = \frac{(2-x)(\sqrt{x})' - \sqrt{x}(2-x)'}{(2-x)^2} \]

Так как мы уже знаем, что \((2-x)'\) = -1 и \((\sqrt{x})'\) = \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\), подставим их в формулу:

\[ \frac{(-1)\sqrt{x} - \frac{1}{2\sqrt{x}}(2-x)}{(2-x)^2} \]

Упростим это выражение:

\[ \frac{-\sqrt{x} - \frac{1}{2\sqrt{x}}(2-x)}{(2-x)^2} = \frac{-\sqrt{x} - \frac{1}{2\sqrt{x}}(2-x)}{(2-x)(2-x)} = \frac{-\sqrt{x} - \frac{1}{2\sqrt{x}}(2-x)}{(2-x)^2} \]

3. Теперь мы можем сложить производные обоих слагаемых:

\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{2-x}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{2-x}\right) = \left(-\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{2x} + \frac{1}{2\sqrt{x}}\right) + \frac{-\sqrt{x} - \frac{1}{2\sqrt{x}}(2-x)}{(2-x)^2} \]

Теперь просто сложим оба слагаемых:

\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{2-x}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{2-x}\right) = -\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{2x} + \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{-\sqrt{x} - \frac{1}{2\sqrt{x}}(2-x)}{(2-x)^2} \]

Упростим это выражение по мере возможности и упрощениям:

\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{2-x}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{2-x}\right) = -\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{2x} + \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} - \frac{1}{2\sqrt{x}}(2-x)}{(2-x)^2} \]

Теперь у нас есть производная данной функции. Это выражение может быть упрощено дальше, но оставим его в данной форме, так как оно уже представляет производную заданной функции.