Question

Помогите, пожалуйста, вычислить интеграл: ∫(x² + x + 2)dx / [x² * (x - 3)]

Answer 1

$\int \frac{(x^2+x+2)dx}{x^2(x-3)} =I\\\\ \frac{x^2+x+2}{x^2(x-3)}=\frac{A}{x^2}+ \frac{B}{x}+\frac{C}{x-3} = \frac{A(x-3)+Bx(x-3)+Cx^2}{x^2(x-3)} \; ;\\\\x^2+x+2=(B+C)x^2+(A-3B)x-3A\\\\1=B+C\\\\1=A-3B\\\\2=-3A\; \; \to \; \; A=-\frac{2}{3}\\\\1=-\frac{2}{3}-3B\; \; \to \; \; \; B=-\frac{5}{9}\\\\1=-\frac{5}{9}+C\; \; \to \; \; \; C=\frac{14}{9}\\\\\\I=-\frac{2}{3}\cdot \int \frac{dx}{x^2}-\frac{5}{9}\cdot \int \frac{dx}{x} +\frac{14}{9}\cdot \int \frac{dx}{x-3}=$

$=-\frac{2}{3}\cdot (-\frac{1}{x})-\frac{5}{9}\cdot ln|x|+\frac{14}{9}\cdot ln|x-3|+C$

Answer 2

Конечно, помогу разобраться с этим интегралом. Давай пошагово:

\[\int \frac{x^2 + x + 2}{x^2 \cdot (x - 3)}dx\]

Сначала разложим дробь на части:

\[\frac{x^2 + x + 2}{x^2 \cdot (x - 3)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x - 3}\]

Теперь найдем значения \(A\), \(B\) и \(C\). Умножим обе стороны на знаменатель:

\[x^2 + x + 2 = A \cdot x \cdot (x - 3) + B \cdot (x - 3) + C \cdot x^2\]

Подставим некоторые значения \(x\), чтобы упростить уравнение. Например, положим \(x = 0\), тогда \(B \cdot (-3) = 2\), отсюда \(B = -\frac{2}{3}\). Положим \(x = 3\), тогда \(C \cdot 9 = 11\), отсюда \(C = \frac{11}{9}\). Наконец, подставим \(x = 1\), тогда \(A - \frac{2}{3} + \frac{11}{9} = 4\), отсюда \(A = \frac{13}{9}\).

Теперь можем записать интеграл в виде суммы:

\[\int \frac{x^2 + x + 2}{x^2 \cdot (x - 3)}dx = \int \left(\frac{\frac{13}{9}}{x} - \frac{\frac{2}{3}}{x^2} + \frac{\frac{11}{9}}{x - 3}\right)dx\]

Теперь проинтегрируем каждую из частей:

\[\frac{13}{9}\int \frac{1}{x}dx - \frac{2}{3}\int \frac{1}{x^2}dx + \frac{11}{9}\int \frac{1}{x - 3}dx\]

Интегралы от этих функций можно легко найти, и ты получишь окончательный ответ. Удачи!