Question

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=x^3 x=0 y=8

Answer 1

Найдем пределы интегрирования:
Для этого нужно найти нули функции,
а именно пересечения x^3 с 8.
$x^3=8 \\ x^3=2^3 \\ x=2$ 
Пределы интегрирования [0] и [2]. 

Вычислим определенный интеграл:
$\int\limits^2_0 {8-x^3} \, dx = 8x-\frac{x^4}{4} |2;0 = 16- \frac{16}{4}-(0*8- \frac{0}{4}) = \\ 16-4=12$

Площадь криволинейной трапеции составляет: 12. кв ед.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y = x^3, x = 0 и y = 8, нам потребуется найти точки пересечения этих линий.

Подставим уравнение x = 0 в уравнение y = x^3: y = 0^3 y = 0

Таким образом, получаем точку пересечения A(0, 0).

Теперь решим систему уравнений y = x^3 и y = 8: x^3 = 8 Извлекая кубический корень из обеих частей уравнения, получаем: x = ∛8 x = 2

Подставим x = 2 в уравнение y = x^3: y = 2^3 y = 8

Таким образом, получаем точку пересечения B(2, 8).

Теперь мы знаем, что фигура ограничена линиями y = x^3, x = 0, y = 8 и точками A(0, 0) и B(2, 8).

Чтобы вычислить площадь этой фигуры, мы можем использовать метод разделения площади на две фигуры.

Первая фигура - треугольник, ограниченный линиями y = x^3, x = 0 и горизонтальной линией y = 0. Площадь этого треугольника можно вычислить по формуле: S1 = (1/2) * основание * высота

Основание треугольника равно расстоянию между точками A(0, 0) и B(2, 8), то есть 2 - 0 = 2. Высота треугольника равна y-координате точки B, то есть 8.

Таким образом, площадь первой фигуры равна: S1 = (1/2) * 2 * 8 S1 = 8

Вторая фигура - фигура, ограниченная линиями y = x^3, x = 2 и горизонтальной линией y = 8. Площадь этой фигуры можно вычислить по формуле: S2 = основание * высота

Основание второй фигуры равно расстоянию между точками B(2, 8) и C(2, 0), то есть 8 - 0 = 8. Высота второй фигуры равна разности между y-координатой точки B и y-координатой точки A, то есть 8 - 0 = 8.

Таким образом, площадь второй фигуры равна: S2 = 8 * 8 S2 = 64

Теперь мы можем вычислить общую площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^3, x = 0, y = 8 и точками A(0, 0) и B(2, 8), сложив площади двух фигур: S = S1 + S2 S = 8 + 64 S = 72

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^3, x = 0, y = 8 и точками A(0, 0) и B(2, 8), равна 72.