Question

1) найдите промежутки возрастания и убывания функции y=x3 - 3lnx 2) вычислите наибольшее и наименьшее значение функции y=x2 e в степени х на отрезке от -1:2 включительно 3) вычислите площадь фигуры ,ограниченной заданными линиями у=0,5в степени х , у=0, х=2 ПОДРОБНО ! СПАСИБО)

Answer 1

Решение смотри на фотографии

Answer 2

1) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции y = x^3 - 3lnx необходимо найти ее производную. Для этого применим правило дифференцирования сложной функции.

y' = 3x^2 - 3/x

Промежутки возрастания определяются равенством производной нулю или ее изменением с положительного значения на отрицательное. Для этого найдем точки, где производная равна нулю:

3x^2 - 3/x = 0

После приведения к общему знаменателю получим:

3x^3 - 3 = 0

Решим это уравнение:

3(x^3 - 1) = 0

x^3 - 1 = 0

Таким образом, имеем одно решение x = 1. В этой точке производная равна 0.

Исследуем производную в промежутках между точками, где она равна 0, и на соответствующих полуинтервалах найдем знаки производной.

Подставим произвольную точку из каждого интервала в производную и проверим ее знак. Например, возьмем x = 0, получаем:

3(0)^2 - 3/0 = -∞

Знак минус означает, что функция убывает на интервале (-∞, 1). Проверяя другие интервалы можно получить, что функция возрастает на интервале (0, +∞).

2) Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции y = x^2 * e^x на отрезке [-1, 2] необходимо вычислить значения функции в концах отрезка и в точках, где ее производная равна нулю.

Находим производную функции y' = (2x + x^2)e^x. Для нахождения точек, где производная равна 0, решаем уравнение:

(2x + x^2)e^x = 0

Так как экспонента e^x всегда положительна, то для выполнения равенства необходимо, чтобы выражение (2x + x^2) было равно 0:

x(x + 2) = 0

Имеем две точки, где производная равна 0: x = 0 и x = -2.

Теперь находим значения функции в концах отрезка и в найденных точках. Подставляя значения x в функцию y = x^2 * e^x, имеем:

y(-1) = (-1)^2 * e^(-1) = e^(-1) ≈ 0.368

y(2) = 2^2 * e^2 = 4e^2 ≈ 29.556

y(0) = 0^2 * e^0 = 0

y(-2) = (-2)^2 * e^(-2) = 4e^(-2) ≈ 0.0368

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [-1, 2] равно 0, а наибольшее значение равно примерно 29.556.

3) Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями y = 0.5^x, y = 0 и x = 2, нам понадобится построить график функции y = 0.5^x и найти площадь под ним в пределах от -∞ до 2.

Функция y = 0.5^x является экспоненциальной функцией с основанием 0.5. Рассмотрим ее поведение:

При x -> -∞ функция стремится к бесконечности, а при x -> +∞ функция стремится к 0. Также заметим, что функция всегда положительна.

Построим график функции:

(Извините, но я не могу предоставить изображения графиков.)

Теперь нужно вычислить площадь под графиком функции на отрезке [-∞, 2]. Площадь можно вычислить с использованием интеграла:

S = ∫[a, b] f(x) dx

В данном случае, a = -∞, b = 2 и f(x) = 0.5^x. Подставляем значения:

S = ∫[-∞, 2] 0.5^x dx

Интеграл этой функции сложно рассчитать аналитически, однако мы можем использовать численные методы для оценки этого интеграла. Например, метод прямоугольников или метод трапеций.

К сожалению, не могу предоставить точное значение площади фигуры, ограниченной указанными линиями, без вычисления интеграла или использования численных методов.