Question

Объясните пожалуйста, как найти наибольшее и наименьшее значение функции y= cosx на отрезке [П/4; 5п/3]

Answer 1

Для нахождения max или min нужно воспользоваться производной

y= cos x

y`= - sin x

y`=0; -sin x=0; x=πn; n∈Z

точки, в которых производная равна 0, являются точками экстремума функции. (т.е. точками или max или min)

определим знаки производной учитывая наш отрезок

______ 0 ____ (п/4) ______ п_______(5п/3) ______ 2п

                          y`<0                                y`>0

                    функция убывает          функция возрастает

Значит х=п, точка минимума функции

cos (п) = -1

Определим точки максимума на отрезке

т.к. максимумы функции бубт точки х=0 и х= 2п

то проверим значение функции вточках х=п/4 и х=5п/3 и сравним

cos (п/4)=√2/2; cos (5п/3)=1/2

Значит наименьшее значение функции в точке х=п и равно -1

наибольшее значение функции в точке х= п/4 и равно √2/2

Answer 2

Для того чтобы найти наименьшее и наибольшее значение функции y = cos(x) на заданном отрезке [π/4; 5π/3], нужно: 1. Найти значения функции в крайних точках отрезка. Подставим в формулу значения x, равные π/4 и 5π/3:

y(π/4) = cos(π/4) = √2/2 y(5π/3) = cos(5π/3) = -1/2

Таким образом, первоначально наименьшим значением функции будет -1/2, а наибольшим — √2/2.

2. Найти значения функции в критических точках внутри отрезка. Критические точки функции соответствуют ее экстремумам и определяются условием f'(x) = 0. В данном случае функция y = cos(x) является тригонометрической, и ее период равен 2π. Так как заданный отрезок [π/4; 5π/3] больше 2π, мы можем найти критические точки, увеличивая или уменьшая исходную область до положительных или отрицательных целых чисел (т.е., за пределами заданного отрезка).

3. Построить график функции y = cos(x) на расширенной области и отметить на нем все найденные значения.

На графике можно увидеть, что значение функции cos(x) убывает при увеличении аргумента x от π/4 до π/2, затем возрастает от π/2 до 5π/6, и снова убывает после 5π/6. При этом, у каждой точки выбранного отрезка есть соответствующая точка симметричная относительно оси ординат. Таким образом, наибольшее значение функции y = cos(x) на отрезке [π/4; 5π/3] равно √2/2, а наименьшее значение равно -1/2.