Question

4cos^2 6x+ 16 cos^2 3x=13 Решить пременяя формулы понижения степени

Answer 1

Во втором слагаемом применим формулу понижения степени, имеем

$\tt 4\cos^26x+16\cdot\dfrac{1+\cos 6x}{2} =13\\ \\ 4\cos^26x+8+8\cos6x=13\\ 4\cos^26x+8\cos 6x-5=0$

Решим последнее уравнение как квадратное уравнение относительно $\tt \cos6x$

$\tt D=b^2-4ac=8^2-4\cdot 4\cdot(-5)=144$

$\tt \cos 6x=\dfrac{-8+12}{2\cdot4} =\dfrac{1}{2} \\ 6x=\pm\dfrac{\pi}{3} +2\pi n,n \in \mathbb{Z}~~~\Rightarrow~~~ \boxed{\tt x=\pm\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3},n \in \mathbb{Z}}$

$\tt \cos 6x=\dfrac{-8-12}{2\cdot4}$ - уравнение решений не имеет

Ответ: $\tt x=\pm\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3},n \in \mathbb{Z}$

Answer 2

Для решения уравнения 4cos^2(6x) + 16cos^2(3x) = 13 с использованием формул понижения степени, мы можем воспользоваться формулой понижения степени для косинуса:

cos(2a) = 2cos^2(a) - 1

Сначала преобразуем каждое слагаемое в уравнении с использованием этой формулы.

1. Для 4cos^2(6x): cos(2*3x) = cos(6x) 2cos^2(3x) - 1

2. Для 16cos^2(3x): 4cos^2(2*3x) = 4cos^2(6x) 4(2cos^2(3x) - 1)

Теперь уравнение выглядит следующим образом:

2(2cos^2(3x) - 1) + 4(2cos^2(3x) - 1) = 13

Упростим уравнение:

4cos^2(3x) - 2 + 8cos^2(3x) - 4 = 13

Теперь объединим подобные члены:

12cos^2(3x) - 6 = 13

Добавим 6 к обеим сторонам уравнения:

12cos^2(3x) = 19

Теперь разделим обе стороны на 12:

cos^2(3x) = 19/12

Теперь извлекаем квадратный корень:

cos(3x) = ±√(19/12)

Теперь найдем все значения угла 3x, для которых это выполняется. Учтем, что cos(3x) может быть положительным или отрицательным в разных квадрантах.

1. Если cos(3x) = √(19/12), то:

3x = arccos(√(19/12))

2. Если cos(3x) = -√(19/12), то:

3x = -arccos(√(19/12))

Теперь найдем значения 3x и, соответственно, x, учитывая, что угол 3x может принимать значения в разных квадрантах.