Question

Дана парабола x^2=8y+2. Найти ее вершину,фокус и директрису.

Answer 1

Перепишем уравнение параболы в виде y=x²/8-1/4=1/8*(x²-2). Так как при любых значениях x x²≥0, то x²-2≥-2. Отсюда следует, что вершина параболы имеет ординату x=0, тогда y=-0,25. Значит, вершины координаты таковы: (0, -0,25). 
Для нахождения фокуса запишем уравнение параболы в виде x²=2*p*(y-y0). В нашем случае это уравнение имеет вид x²=2*4*(y-(-0,25)), так что p=4 и y0=-0,25. Фокус параболы имеет координаты (0,p/2), в нашем случае это (0,2). Директриса в нашем случае задаётся уравнением y+p/2=0, или y=-2. 

Answer 2

Для нахождения вершины, фокуса и директрисы параболы, заданной уравнением $x^2 = 8y + 2$, давайте применим стандартную форму уравнения параболы, которая выглядит следующим образом:

$4p(y - k) = (x - h)^2$,

где $(h, k)$ - координаты вершины параболы, а $p$ - фокусное расстояние.

Сначала преобразуем данное уравнение параболы к этой форме:

$x^2 = 8y + 2$.

Перенесем 2 на правую сторону:

$x^2 - 2 = 8y$.

Теперь поделим обе стороны на 8:

$\frac{x^2}{8} - \frac{2}{8} = y$,

$\frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{4} = y$.

Теперь у нас есть уравнение в стандартной форме:

$4p(y - k) = (x - h)^2$,

где $h = 0$ и $k = -\frac{1}{4}$.

Сравнивая это с нашим уравнением, видно, что вершина находится в точке $(0, -1/4)$.

Теперь мы знаем координаты вершины $(h, k) = (0, -1/4)$. Чтобы найти фокусное расстояние $p$, мы знаем, что $4p = \frac{1}{8}$, так как коэффициент перед $y$ в стандартной форме равен $\frac{1}{8}$.

Решим это уравнение для $p$:

$4p = \frac{1}{8}$,

$p = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{4}$,

$p = \frac{1}{32}$.

Теперь у нас есть координаты вершины $(0, -1/4)$ и фокусное расстояние $p = 1/32$. Для нахождения фокуса и директрисы, мы можем использовать следующие формулы:

Фокус $(0, k + p) = (0, -1/4 + 1/32) = (0, -7/32)$.

Директриса $y = k - p = -1/4 - 1/32 = -9/32$.

Итак, вершина параболы находится в точке $(0, -1/4)$, фокус в точке $(0, -7/32)$, и директриса имеет уравнение $y = -9/32$.