Question

В шахматном кружке проводился турнир в младшей группе обучающихся, в рамках которого каждый участник играл св каждым другим по одной партии. За победу начислялось -2 очка, за ничью - 1 очко, а за поражение - 0 очков. Всего в турнире участвовало 5 ребят.Рита заняла второе место, набрав при этом ровно столько же сколько Илья, Люба и Олег вместе взятые. Сколько очков набрал Стас, занявший первое место.

Answer 1

Так как каждый с каждым сыграл по одному разу, то всего игр было 10.
Я нашел следующую комбинацию, при которой Рита имеет такую же сумму очков, как Олег, Илья и Люба вместе взятые, причем Стас оказывается на первом месте с 8 очками.

Каждый играет друг с другом по одной партии, соответственно, один человек играет с 4-мя другими.

Пусть Стас набрал максимальное количество очков (8) и выиграл. Тогда Рита должна набрать очков меньше, чем у Стаса, но больше, чем у Любы, Олега и Ильи вместе взятых.

Пусть Люба, Олег и Илья набрали по 2 очка, Рита -- 6, а Стас -- 8.
Это можно представить в следующем виде (см. фото). Таким образом, подобрана необходимая комбинация.

Осталось доказать, что не существует других комбинаций, приводящих к тому же ответу. Докажем это.

Рассмотрим текущую стратегию, приведенную на фото.
Если допустить, что в финальной партии Стас и Рита сыграли в ничью, то тогда у них будет по 7 очков и Стас не будет победителем.
Если допустить, что Стас проиграл один раз одному из ребят, кроме Риты, то сумма набранных очков Любой, Олегом и Ильей вместе взятых будет больше 6, то есть больше, чем имеется у Риты, что опять же не подойдет под условие данной задачи.
В остальных ситуациях сумма набранных Любой, Олегом и Ильей очков будет отличаться от суммы очков, набранных Ритой.

Ответ: 8 очков.

Answer 2

Обозначим количество очков, набранных каждым участником:

• Рита: $R$ очков
• Илья: $I$ очков
• Люба: $L$ очков
• Олег: $O$ очков
• Стас: $S$ очков

Из условия видно, что Рита набрала столько же очков, сколько Илья, Люба и Олег вместе взятые, то есть:

$R = I + L + O$

Далее, известно, что за победу начисляется -2 очка, за ничью - 1 очко, а за поражение - 0 очков. Стас занял первое место, следовательно, он выиграл все свои игры. Поскольку в турнире 5 участников, он сыграл 4 игры с остальными.

Стас набрал $4 \cdot (-2) = -8$ очков.

Теперь, учитывая, что Рита заняла второе место, то есть проиграла только одну игру (вероятно, с Стасом), она набрала -2 очка. Поскольку она набрала столько же, сколько Илья, Люба и Олег вместе взятые, им вместе нужно было набрать -2 очка.

Итак, у нас уравнение:

$I + L + O = -2$

Таким образом, у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} R = I + L + O \\ I + L + O = -2 \end{cases}$

Из первого уравнения мы можем выразить $R$ через $I, L$ и $O$:

$R = -2$

Теперь у нас есть все необходимые данные:

• Рита набрала -2 очка
• Стас набрал -8 очков

Так как в турнире участвовало 5 человек, общее количество очков должно быть равно $-2 - 8 + I + L + O = -10 + I + L + O$. Так как за каждую игру всего 2 очка (2 за победу или 1 за ничью), общее количество очков должно быть четным числом.

Таким образом, $I + L + O$ должно быть четным числом. Из второго уравнения мы видим, что оно равно -2, что нечетно. Это противоречие указывает на то, что в задаче допущена ошибка. Проверьте условие задачи и перепишите его, если необходимо.