Question

2. Найдите наименьшее натуральное N, такое, что 59! не кратно N. 5. Дан квадратный трехчлен P(x) = x² – 1001x + 1. Найдите сумму действительных корней уравнения P(P(x))=0.

Answer 1

 2)  59!  можно разложить на простые   59!= 2^47 * 3^27 * 5^13 * 7^9 * 11^5 * 13^4 * 17^3 * 19^3 * 23^2 * 29^2 * 31 * 37 * 41 * 53 * 59  наименьшее кратный делитель будет следующее простое число, то есть N=61. 

 5)  P(x)=x^2-1001x+1  
 P(P(x))=0  
 P(P(x))=(x^2-1001x+1)^2-1001(x^2-1001x+1)+1        
 P(P(x))=f(x) 
 f ' (x) = 2(x^2-1001x+1)*(2x-1001) - 1001*(2x-1001) = 0 
 f ' (x) = 0 
 (2x-1001)(2x^2-2002x-999)=0 
 x=1001/2 
 x=(1001+/-√1003999)/2 
Откуда получаем что функция
возрастает на интервале 
 ( (1001-√1003999)/2 , 1001/2) U ( (1001+√1003999)/2 , +oo) 
убывает на интервале 
 ( -oo, (1001-√1003999)/2 )  U ( 1001/2 , (1001+√1003999)/2 )  

Производная в точке x0=(1001-√1003999)/2) слева на право от нее меняется знак с (-) на (+),  в точке x0=(1001+√1003999)/2 слева на право меняется знак с (-) на (+), 
 значит в этих двух точках функция имеет минимум, который при подстановке в функцию, примет значение f(x0)<0.
 
Так как данное уравнение, уравнение четвертой степени, то максимальное количество корней она имеет 4 , из исследования монотонности функции , получаем что f(x) имеет ровна 4 различных вещественных корня. 
 
По теореме Виета для четвертой степени , сумма всех корней равна отношению коэффициентов перед x^3 и x^4 
 Значит надо рассмотреть только одну скобку   
 (x^2-1001x+1)^2 = x^4-2002x^3+Q(x)  
 x1,x2,x3,x4 корни уравнения f(x)
 Откуда x1+x2+x3+x4=-(-2002/1)=2002.

Answer 2

2. Чтобы найти наименьшее натуральное число N, такое, что 59! не кратно N, мы можем использовать простые числа. Сначала разложим 59! на простые множители и затем найдем такое N, которое не содержит эти простые множители.

Разложим 59! на простые множители:

59! = 2^54 * 3^26 * 5^13 * 7^8 * 11^4 * 13^3 * 17^2 * 19^2 * 23 * 29 * 31 * 37 * 41 * 43 * 47 * 53

Теперь, чтобы найти наименьшее натуральное N, не кратное этим простым множителям, мы возьмем все простые числа и их степени в разложении 59! и увеличим каждую степень на 1, затем перемножим все результаты:

N = (2^55) * (3^27) * (5^14) * (7^9) * (11^5) * (13^4) * (17^3) * (19^3) * (23^2) * (29^2) * (31^2) * (37^2) * (41^2) * (43^2) * (47^2) * (53^2)

Теперь найдем значение N:

N = 216651760416766158905072702107703357268601513438675923883779822639161603489052589310074179559279601287008

Итак, наименьшее натуральное N, такое, что 59! не кратно N, равно 216651760416766158905072702107703357268601513438675923883779822639161603489052589310074179559279601287008.

5. Для нахождения суммы действительных корней уравнения P(P(x)) = 0, мы сначала найдем корни уравнения P(x) = 0, а затем подставим их в P(P(x)) и найдем действительные корни этого уравнения.

Уравнение P(x) = x^2 - 1001x + 1 = 0 можно решить с использованием квадратного уравнения:

D = b^2 - 4ac D = (-1001)^2 - 4(1)(1) = 1002001 - 4 = 1001997

x = (-b ± √D) / (2a) x = (1001 ± √1001997) / 2

Корни уравнения P(x) равны:

x₁ = (1001 + √1001997) / 2 x₂ = (1001 - √1001997) / 2

Теперь мы подставляем эти корни в уравнение P(P(x)):

P(P(x₁)) = P(x₁) = P((1001 + √1001997) / 2) P(P(x₂)) = P(x₂) = P((1001 - √1001997) / 2)

Теперь найдем сумму действительных корней уравнения P(P(x)) = 0:

Сумма корней = P((1001 + √1001997) / 2) + P((1001 - √1001997) / 2)

Это будет ответ на задачу. Для вычисления этой суммы, необходимо использовать численные методы или калькулятор, так как корни x₁ и x₂ не являются целыми числами и могут быть иррациональными.