Question

Вычислить производную функции √(2+x^2)/sin (x^2)

Answer 1

$( \frac{ \sqrt{2+ x^{2} } }{sin(x^2)} )'=( \frac{ (2+ x^{2})^{ \frac{1}{2} } }{sin(x^2)} )'= \frac{ \frac{1}{2} (2+x^2)^{- \frac{1}{2} }*2x*sin(x^2)-(2+x^2)^{ \frac{1}{2}}*cos(x^2)*2x }{sin^2(x^2)} = \\ =\frac{ \frac{xsin( x^{2} )}{\sqrt {2+x^{2} } }-2x \sqrt {2+x^2}*cos(x^2)}{sin^2(x^2)} =\frac{ \frac{x}{\sqrt {2+ x^{2} } }-2x \sqrt {2+x^2}*ctg(x^2)}{sin(x^2)} =$
$=\frac{ x-2x (2+x^2)*ctg(x^2)}{sin(x^2) \sqrt{2+x^2} }=\frac{ x-2x (2+x^2)*ctg(x^2)}{sin(x^2) (2+x^2) } \sqrt{2+x^2}$

Answer 2

Для вычисления производной функции $\frac{\sqrt{2+x^2}}{\sin(x^2)}$ по $x$, мы можем использовать правила дифференцирования. Давайте разделим эту задачу на несколько шагов.

1. Для начала, выразим функцию в более читаемой форме:

   $f(x) = \sqrt{2+x^2} \cdot \frac{1}{\sin(x^2)}$

2. Рассмотрим производную $\sqrt{2+x^2}$ и $\frac{1}{\sin(x^2)}$ по отдельности.

   Первая функция: $u = \sqrt{2+x^2}$ Вторая функция: $v = \frac{1}{\sin(x^2)}$

3. Теперь вычислим производные $u$ и $v$:

   $u'(x) = \frac{d}{dx} \sqrt{2+x^2} = \frac{1}{2\sqrt{2+x^2}} \cdot \frac{d}{dx} (2+x^2) = \frac{x}{\sqrt{2+x^2}}$

   $v'(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\sin(x^2)}\right)$

   Для вычисления производной $v$, мы можем воспользоваться правилом цепочки. Обозначим $u = x^2$, тогда:

   $v'(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\sin(u)}\right) = \frac{d}{du} \left(\frac{1}{\sin(u)}\right) \cdot \frac{d}{dx} (x^2)$

   Теперь найдем производные по $u$ и $x^2$:

   $\frac{d}{du} \left(\frac{1}{\sin(u)}\right) = -\frac{1}{\sin^2(u)} \cdot \frac{d}{du} \sin(u) = -\frac{1}{\sin^2(u)} \cdot \cos(u)$

   $\frac{d}{dx} (x^2) = 2x$

   Теперь мы можем найти производную $v$:

   $v'(x) = -\frac{1}{\sin^2(x^2)} \cdot \cos(x^2) \cdot 2x$