Question

Вычислить интегралы ∫-8х²-4х-2 /-5хdx= ∫sin(-2x+5)dx= ∫x²lnxdx=

Answer 1

$1)\; \; \int \frac{-8x^2-4x-2}{-5x} dx=\int (\frac{8}{5}x+\frac{4}{5}+\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{x})dx=\\\\=\frac{8}{5}\cdot \frac{x^2}{2}+\frac{4}{5}x+\frac{2}{5}\cdot lnx+C\\\\2)\; \; \int sin(-2x+5)dx=[\, t=-2x+5,\; dt=-2dx\, ]=\\\\=-\frac{1}{2}\int sint\, dt=-\frac{1}{2}\cdot (-cost)+C=\frac{1}{2}cos(-2x+5)+C\\\\3)\; \; \int x^2lnx\, dx=[\, u=lnx,\; du= \frac{dx}{x} ,\; dv=x^2\, dx,\; v=\frac{x^3}{3}\, ]=$

$=uv-\int v\, du= \frac{x^3}{3} lnx-\int \frac{x^2\, dx}{3} = \frac{x^3}{3}lnx- \frac{x^3}{9}+C$

Answer 2

Давайте посчитаем каждый из этих интегралов поочередно:

1. Интеграл от $-8x^2 - 4x - 2$ по отношению к $x$:

$\int (-8x^2 - 4x - 2) / (-5x) \, dx$

Для вычисления этого интеграла сначала разделим каждый член числителя на знаменатель:

$\int \left( \frac{8x^2}{5x} + \frac{4x}{5x} + \frac{2}{5x} \right) \, dx$

$= \int \left( \frac{8}{5}x + \frac{4}{5} + \frac{2}{5x} \right) \, dx$

Теперь проинтегрируем каждый член:

$= \frac{8}{5} \cdot \frac{x^2}{2} + \frac{4}{5}x + 2\ln(|x|) + C$

где $C$ - постоянная интегрирования.

2. Интеграл от $\sin(-2x + 5)$ по отношению к $x$:

$\int \sin(-2x + 5) \, dx$

Для интегрирования синуса, используем метод подстановки. Пусть $-2x + 5 = u$, тогда $-2dx = du$, или $dx = -\frac{1}{2}du$. Подставляем это значение в интеграл:

$= -\frac{1}{2} \int \sin(u) \, du$

Интеграл от $\sin(u)$ - это $-\cos(u)$:

$= \frac{1}{2}\cos(u) + C$

Теперь вернемся к переменной $x$:

$= \frac{1}{2}\cos(-2x + 5) + C$

3. Интеграл от $x^2 \ln x$ по отношению к $x$:

$\int x^2 \ln x \, dx$

Для интегрирования этого выражения, воспользуемся интегрированием по частям. Пусть $u = \ln x$, $dv = x^2 \, dx$. Тогда $du = \frac{1}{x} \, dx$, и $v = \frac{1}{3}x^3$. Применяем формулу интегрирования по частям:

$= u \cdot v - \int v \, du$

$= \ln x \cdot \frac{1}{3}x^3 - \int \frac{1}{3}x^3 \cdot \frac{1}{x} \, dx$

$= \frac{1}{3}x^3 \ln x - \frac{1}{3} \int x^2 \, dx$

$= \frac{1}{3}x^3 \ln x - \frac{1}{9}x^3 + C$

Где $C$ - постоянная интегрирования.

Таким образом, вычислены все три заданных интеграла.