Question

Решите  неравенство:а3 + в3 ≥ а2в + в2а             а≥0  ,  в≥0Помогите пожалуйста

Answer 1

Если правильно понял то а3 - это степень а, а а> или =0 и b> или =0 это условие.
По формуле раскрываем а^3 + b^3=(a+b)*(a^2-ab+b^2);
Из 2 выносим ab: a^2*b+b^2*a=ab*(a+b)
Получается: (a+b)*(a^2-ab+b^2)> или =ab*(a+b)
Так как a и b- положительные числа, то  a+b тоже больше или = 0, значит можно разделить обе части без изменения знака, и остается:
a^2-ab+b^2> или =ab
a^2-ab+b^2-ab> или =0
a^2-2ab+b^2> или =0
(a-b)^2> или =0
Так как (a-b) в квадрате, значит несмотря ни на что получится число большее или равное 0.
Все доказано.

Answer 2

Чтобы решить это неравенство, мы можем воспользоваться неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим для неотрицательных чисел (AM-GM неравенство). Неравенство AM-GM гласит, что для неотрицательных чисел $x$ и $y$ выполняется:

$\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy}$

В нашем случае $x = a^3$ и $y = b^3$. Применяя AM-GM неравенство, мы получаем:

$\frac{a^3 + b^3}{2} \geq \sqrt{a^3 \cdot b^3}$

Теперь давайте рассмотрим правую часть неравенства. Мы знаем, что $\sqrt{a^3 \cdot b^3} = \sqrt{(ab)^3} = ab^\frac{3}{2}$.

Теперь мы можем переписать неравенство:

$\frac{a^3 + b^3}{2} \geq ab^\frac{3}{2}$

Теперь мы можем умножить обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

$a^3 + b^3 \geq 2ab^\frac{3}{2}$

Таким образом, неравенство $a^3 + b^3 \geq a^2b + ab^2$ верно при условии, что $a$ и $b$ неотрицательные числа ($a \geq 0$ и $b \geq 0$).