Question

На клеточной бумаге все клетки квадратные с стороной 1 см верхушки етих квадратов назовём узлами, нарисован круг, который вмещает не менее чем 280, но не больше чем 320 узлов. Какую из следующих длин может иметь радиус такого круга? А-7см Б-8см В-9см Г-10см Д-11см (дать полный ответ)

Answer 1

Ответ:

Минимальное количество узлов, которое может быть вписано в круг диаметром 1 см, равно 4 (один в центре и по одному в каждом из четырех квадрантов). Максимальное количество узлов, которое может быть вписано в круг диаметром 2 см, равно 12 (центральный узел плюс 4 в каждом квадранте).

Следовательно, чтобы вместить не менее 280, но не более 320 узлов, нужно найти круг, в который поместится такое количество узлов. Очевидно, что данное количество узлов не может быть помещено в круг радиусом 1 см или 2 см.

Для дальнейшего анализа давайте рассмотрим вариант с кругом радиусом 3 см. Максимальное количество узлов, которое можно разместить в круге радиусом 3 см, равно 52 (центральный узел плюс 12 в каждом квадранте плюс 4 на каждой из сторон). Это значение все равно меньше 280.

Переходя к варианту с кругом радиусом 4 см, максимальное количество узлов составляет 100 (центральный узел плюс 24 в каждом квадранте). Это тоже недостаточно.

И наконец, давайте рассмотрим круг радиусом 5 см. Максимальное количество узлов, которое можно разместить в круге радиусом 5 см, равно 152 (центральный узел плюс 40 в каждом квадранте). Это значение уже больше 280, но меньше 320.

Таким образом, правильный ответ: Г-10см.

Answer 2

Ну, для начала вычислим, сколько узлов вмещает круг с радиусом r. Площадь круга выражается формулой $S = \pi r^2$. Однако, поскольку у нас используется клеточная бумага с квадратными клетками, мы должны привести это к целым числам. Поскольку сторона квадрата равна 1 см, каждый узел будет иметь площадь 1 см². Таким образом, количество узлов в круге равно целой части от $S/\text{площадь узла}$.

Получается формула: $\text{количество узлов} = \lfloor \pi r^2 \rfloor$.

Теперь, у нас должно быть 280 <= количество узлов <= 320. Подставим значения и найдем подходящий радиус.

7 см: $\lfloor \pi \times 7^2 \rfloor = \lfloor 153.938 \rfloor = 153$

8 см: $\lfloor \pi \times 8^2 \rfloor = \lfloor 201.062 \rfloor = 201$

9 см: $\lfloor \pi \times 9^2 \rfloor = \lfloor 254.469 \rfloor = 254$

10 см: $\lfloor \pi \times 10^2 \rfloor = \lfloor 314.159 \rfloor = 314$

11 см: $\lfloor \pi \times 11^2 \rfloor = \lfloor 379.947 \rfloor = 379$

Таким образом, единственный подходящий радиус из предложенных вариантов - 10 см. Ответ: Г-10см.