Question

Сколько двоек содержится в разложении на простые множители числа 3^1024−1?

Answer 1

Ответ:

12

Объяснение:

${3}^{1024} - 1 = ( {3}^{512} - 1)( {3}^{512} + 1) = ( {3}^{256} - 1)( {3}^{256} + 1)( {3}^{512} + 1) = ... = (3 - 1)(3 + 1)( {3}^{2} + 1)(( {3}^{4} + 1)( {3}^{8} + 1)( {3}^{16} + 1)...$

Выражение вида

${3}^{2n} + 1$

где n∈N, будет кратно исключительно двойке, ведь выражение сравнимо с 2 по модулю 4, следовательно, все множители начиная с третьего кратны только 2, первый множитель тоже кратен 2, а второй 4. Всего множителей 11, но один из них кратен 4, следовательно, всё выражение кратно 2¹², ну и всего двоек 12

Answer 2

Чтобы найти количество двоек в разложении на простые множители числа 3^1024-1, нужно сначала разложить это число на множители.

3^1024-1 можно представить в виде (3^512+1)(3^256+1)(3^128+1)(3^64+1)(3^32+1)(3^16+1)(3^8+1)(3^4+1)(3^2+1)(3+1)(3-1).

Теперь рассмотрим каждое слагаемое:

1. 3+1 = 4 = 2^2, содержит две двойки. 2. 3-1 = 2 = 2^1, содержит одну двойку. 3. 3^2+1 = 10 = 2*5, не содержит двоек. 4. 3^4+1 = 82 = 2*41, не содержит двоек. 5. 3^8+1 = 6562 = 2*2*2*7*13*19, содержит три двойки. 6. 3^16+1 = 43046722 = 2*32*67*169, содержит пять двоек. 7. 3^32+1 = 1853020188851842 = 2*8008*230584300921369395, содержит две двойки. 8. 3^64+1 = 38884976640080 = 2^4*5*967*5333*11809, содержит четыре двойки. 9. 3^128+1 = 115792089237316195423570985008687907840 + 1 = число слишком большое, чтобы его разложить и определить сколько в нем двоек содержится. 10. 3^256+1 = число слишком большое, чтобы его разложить и определить сколько в нем двоек содержится. 11. 3^512+1 = число слишком большое, чтобы его разложить и определить сколько в нем двоек содержится.

Таким образом, известно, что первые 9 слагаемых содержат 2+1+3+5+2+4+2+2+0 = 21 двойку. А оставшиеся 3 слагаемых точно содержат больше двоек, чем предыдущие 9, так как степени 3 растут экспоненциально.

Итак, в разложении числа 3^1024-1 на простые множители содержится минимум 21 двойка.