Question

7.26. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции: 1) y = x² - x + 3,75; 2) y = -x² - 3x - 6,25; Не принимаю крохотные ответы. Объясните хотя бы немного, как вы решили примеры​

Answer 1

Ответ:

1) y = 3.5 - это минимум функции

максимум функции = +∞

2) y = (-4)  - это максимум функции

минимум функции = -∞

Объяснение:

Вообще-то точки экстремума функций ищутся при помощи производных.

Но у нас тут достаточно простые функции - параболы.

Поэтому будем просто искать координату х вершины параболы и смотреть, куда направлены ветви параболы.

Координата х вершины параболы y = ax² +bx +c ищется по формуле

$\displaystyle x_0=-\frac{b}{2a}$

1)   y = x² - x + 3,75

В данном случае мы имеем параболу ветвями вверх (коэффициент при x² равен 1 > 0)

Значит в вершине параболы достигается минимум функции.

$\displaystyle x_0=-\frac{-1}{2*1} =0.5$

и тогда

y(0.5) = (0.5)² - 0.5 +3.75 = 3.5 - это минимум функции

максимум функции = +∞

2) y = -x² - 3x - 6.25

Имеем параболу ветвями вниз (коэффициент при x² равен -1 < 0)

Следовательно, в вершине параболы достигается максимум функции.

Аналогично случаю 1)

$\displaystyle x_0=-\frac{-3}{2*(-1)} =-1.5$

y(-1.5) = (-1.5)² -3*(-1.5) -6.25 = (-4)  - это максимум функции

минимум функции = -∞

Answer 2

Давайте найдем наибольшее и наименьшее значения для данных функций, а затем объясню шаги решения.

1. Функция y = x² - x + 3,75 - это квадратичная функция, и ее график представляет собой параболу, которая открывается вверх. Мы можем найти наибольшее и наименьшее значения, анализируя вершину параболы.

Сначала найдем вершину параболы. Вершина параболы с уравнением вида y = ax² + bx + c находится в точке (-b/2a, c).

В данном случае: a = 1 b = -1

Теперь найдем вершину: x_вершины = -b / (2a) = -(-1) / (2 * 1) = 1/2 y_вершины = f(1/2) = (1/2)² - (1/2) + 3,75 = 1/4 - 1/2 + 3,75 = -1/4 + 3,75 = 3,75 - 0,25 = 3,5

Таким образом, вершина находится в точке (1/2, 3,5). Теперь мы знаем, что наименьшее значение функции равно 3,5, и это достигается при x = 1/2.

2. Функция y = -x² - 3x - 6,25 также является квадратичной функцией, и ее график представляет собой параболу, открывающуюся вниз.

Аналогично, найдем вершину параболы: a = -1 b = -3

x_вершины = -b / (2a) = -(-3) / (2 * (-1)) = 3/(-2) = -3/2 y_вершины = f(-3/2) = -(3/2)² - 3 * (-3/2) - 6,25 = -9/4 + 9/2 - 6,25 = -9/4 + 18/4 - 25/4 = 9/4 - 25/4 = -16/4 = -4

Таким образом, вершина находится в точке (-3/2, -4). Наименьшее значение функции равно -4 и достигается при x = -3/2.

Итак, наибольшее значение для первой функции (y = x² - x + 3,75) равно 3,5, а для второй функции (y = -x² - 3x - 6,25) равно -4.