Question

Верно ли что среди 11 различных простих чисел всегда найдутся 2 числа разность которых делиться без остатка на 10​

Answer 1

Простые числа при делении на 10 могут давать остатки только

1, 2, 3, 5, 7, 9 - всего 6 различных остатков

Откуда 2 и 5 - это мы учли что сами числа 2 и 5, простые, несмотря на то, что все остальные, дающие остаток 2 и 5 при делении на 10 очевидно составные.

А у нас целых 11 чисел. По принципу Дирихле обязательно найдутся два числа с одинаковым остатком при делении на 10. Их разность будет делиться на 10 без остатка.

Я больше скажу, среди 11 любых чисел найдутся два, разность которых делится на 10 без остатка.

Answer 2

Да, это верно. Это следует из принципа Дирихле (также известного как лемма Дирихле), который утверждает, что если у вас есть бесконечно много объектов и вы распределяете их в конечное количество "контейнеров", то по крайней мере в одном из контейнеров обязательно будет бесконечно много объектов.

В данном случае, "контейнерами" являются остатки от деления простых чисел на 10, то есть остатки 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Простые числа, большие 10, могут иметь остатки от деления на 10 в диапазоне от 1 до 9. Если бы не существовало двух простых чисел с одинаковыми остатками от деления на 10, то среди 11 различных простых чисел всегда было бы по одному числу для каждого из 10 остатков. Однако, согласно принципу Дирихле, как только у нас больше 10 различных простых чисел, обязательно найдутся два числа с одинаковым остатком от деления на 10, и их разность будет делиться на 10 без остатка.