Question

Найдите промежутки выпуклости функции y= (x+1)³-3(x+1)

Answer 1

Вот фото решения, пожалуйста сделай лучшим ответом, буду благодарен!)

Answer 2

Для нахождения промежутков выпуклости функции y = (x + 1)³ - 3(x + 1), нам нужно использовать вторую производную функции. Промежутки выпуклости функции определяются знаком второй производной на этих промежутках.

Давайте начнем с нахождения первой производной функции:

y' = 3(x + 1)² - 3

Теперь найдем вторую производную, продифференцировав первую производную:

y'' = 6(x + 1)

Теперь, чтобы найти промежутки выпуклости, мы должны найти значения x, при которых вторая производная положительна или отрицательна.

Нахождение точек перегиба:

Для того чтобы найти точки перегиба, мы должны найти значения x, при которых вторая производная равна нулю или не существует. Для этого приравняем вторую производную к нулю и решим уравнение:

6(x + 1) = 0

Решение этого уравнения даст нам точку перегиба функции. Решим:

6x + 6 = 0 6x = -6 x = -1

Таким образом, точка перегиба функции находится при x = -1.

Анализ промежутков выпуклости:

Теперь, чтобы определить промежутки выпуклости, мы можем использовать тест второй производной. Если вторая производная положительна на некотором промежутке, это означает, что функция выпукла в этом промежутке. Если вторая производная отрицательна, это означает, что функция вогнута в этом промежутке.

Так как у нас только одна точка перегиба, мы можем выбрать тестовую точку до и после этой точки и проверить знак второй производной вокруг точки перегиба.

Давайте возьмем точку x = 0 и x = -2.

Подставим эти значения во вторую производную:

для x = 0: y''(0) = 6(0 + 1) = 6

для x = -2: y''(-2) = 6(-2 + 1) = -6

Исходя из этих результатов, мы можем сделать следующие выводы:

- Вокруг точки перегиба x = -1 вторая производная меняет знак с положительного на отрицательный. Следовательно, функция вогнута в интервале (-∞, -1). - До точки перегиба x = -1 вторая производная положительна. Следовательно, функция выпукла в интервале (-∞, -1). - После точки перегиба x = -1 вторая производная отрицательна. Следовательно, функция вогнута в интервале (-1, +∞).

Таким образом, промежутки выпуклости функции y = (x + 1)³ - 3(x + 1) следующие:

- Функция выпукла в интервале (-∞, -1). - Функция вогнута в интервале (-1, +∞).

Надеюсь, эта информация была полезной! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.