Question

2^х + 2^-x спростити (щоб прирівняти до 2cos 2x)

Answer 1

Ответ:

0

Объяснение:

Не очень понял. Возможно что это уравнение?

2^x+2^(-x)=2cos2x

Используем неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим для двух положительных чисел 2^x и 2^(-x), а также то что cos2x≤1

2≥2cos2x=2^x+2^(-x)≥2·√(2^x·2^(-x))=2

Равенство возможно только при

2cos2x=2 и 2^x=2^(-x)

2^x=2^(-x)⇒2^(2x)=1⇒2x=0⇒x=0

При x=0 ⇒2cos2x=2cos0=2

Answer 2

Щоб спростити вираз $2^x + 2^{-x}$ і прирівняти його до $2\cos(2x)$, використаємо тригонометричний тотожній перетворення:

$2\cos(2x) = 2\left(\cos^2(x) - \sin^2(x)\right) = 2\cos^2(x) - 2\sin^2(x)$

Тепер нам потрібно виразити $\cos^2(x)$ та $\sin^2(x)$ через $2^x$ та $2^{-x}$.

Ми знаємо, що:

$\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$

Тепер використаємо формулу Ейлера:

$\cos(2x) = \frac{e^{i2x} + e^{-i2x}}{2}$

Звідси можна виділити дійсну та уявну частини:

$\cos(2x) = \frac{e^{i2x} + e^{-i2x}}{2} = \frac{1}{2}(e^{i2x} + e^{-i2x}) = \frac{1}{2}(2\cos(2x)) = \cos(2x)$

Отже, $\cos^2(x) = \frac{1}{2}$ та $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) = \frac{1}{2}$.

Тепер використаємо ці значення для спрощення виразу $2^x + 2^{-x}$:

$2^x + 2^{-x} = 2^{x} + 2^{-x} = 2 \cdot 2^x \cdot 2^{-x} = 2 \cdot (2^x \cdot 2^{-x}) = 2 \cdot 1 = 2$

Таким чином, після спрощення, вираз $2^x + 2^{-x}$ дорівнює 2, що збігається з $2\cos(2x)$.